计时双基练十六导数与函数的综合问题A组基础必做1．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(00，h(x)是增函数，所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25。易知h(80)是h(x)在(0,120]上的最小值。故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升。2．(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)。(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，求c的值。解(1)f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－。当a＝0时，因为f′(x)＝3x2>0(x≠0)，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，x∈时，f′(x)<0，所以函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减；当a<0时，x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0，x∈时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减。(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b，f＝a3＋b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f＝b<0，从而或又b＝c－a，所以当a>0时，a3－a＋c>0或当a<0时，a3－a＋c<0。设g(a)＝a3－a＋c，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，则在(－∞，－3)上g(a)<0，且在∪上g(a)>0均恒成立，从而g(－3)＝c－1≤0，且g＝c－1≥0，因此c＝1。此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]，因函数有三个零点，则x2＋(a－1)x＋1－a＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3>0，且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0，解得a∈(－∞，－3)∪∪。综上c＝1。3．(2015·山西四校联考)已知f(x)＝lnx－x＋a＋1。(1)若存在x∈(0，＋∞)使得f(x)≥0成立，求a的取值范围；(2)求证：当x>1时，在(1)的条件下，x2＋ax－a>xlnx＋成立。解(1)原题即为存在x>0使得lnx－x＋a＋1≥0，∴a≥－lnx＋x－1，令g(x)＝－lnx＋x－1，则g′(x)＝－＋1＝。令g′(x)＝0，解得x＝1。 当01时，g′(x)>0，g(x)为增函数，∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0。故a的取值范围是[0，＋∞)。(2)证明：原不等式可化为x2＋ax－xlnx－a－>0(x>1，a≥0)。令G(x)＝x2＋ax－xlnx－a－，则G(1)＝0。由(1)可知x－lnx－1>0，则G′(x)＝x＋a－lnx－1≥x－lnx－1>0，∴G(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴G(x)>G(1)＝0成立，∴x2＋ax－xlnx－a－>0成立，即x2＋ax－a>xlnx＋成立。B组培优演练1．(2015·东北三校联考)已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围。解(1) 函数的定义域为R，f′(x)＝－，∴当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减。(2)假设存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，则2[φ(x)]min<[φ(x)]max， φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，∴φ′(x)＝＝－。①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1。②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0。③当00，φ(x)在(t,1]上单调递增，所以2φ(t)
