第二章圆锥曲线与方程一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若拋物线y2＝4x上的一点P到焦点的距离为10，则P点的坐标是()A．(9,6)B．(9，±6)C．(6,9)D．(6，±9)解析：设P(x0，y0)，则x0＋1＝10，∴x0＝9，y＝36，∴y0＝±6，故P点坐标为(9，±6)．答案：B2．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1解析：双曲线的焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点为(±4,0)．所以椭圆的标准方程为＋＝1.答案：A3．θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4的曲线不可能是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：sinθ可以等于1，这时曲线表示圆，sinθ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sinθ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．答案：C4．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－12,0)C．(－3,0)D．(－60，－12)解析： a2＝4，b2＝－k，∴c2＝4－k. e∈(1,2)，∴＝∈(1,4)，k∈(－12,0)．答案：B5．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A.B．C.D．解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以其渐近线方程为y＝±x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2，可得＝，解得e2＝，e＝.答案：D6．双曲线－＝1(mn≠0)离心率为2，其中一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为()A.B．C.D．解析：抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴m＋n＝1且＝e2－1＝3，解得m＝，n＝，∴mn＝.1答案：A7．若双曲线－＝1的渐近线l的方程为y＝±x，则双曲线焦点F到渐近线l的距离为()A.B．C．2D．2解析：可知m＞0，∴双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x＝±，∴m＝5，焦点为(±，0)．则焦点(，0)到渐近线y＝x的距离为d＝＝.答案：A8．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是2，且a＞b，则双曲线－＝1的离心率为()A.B．C.D．解析：由可得a＝5，b＝4，∴c2＝a2＋b2＝41，∴c＝，e＝.答案：D9．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为()A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1或＋＝1D．以上都不对解析： 短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，∴2c＝a，又 a－c＝，可知c＝，a＝2，∴b＝＝3.∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.答案：C10．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0D．5x±4y＝0解析：过F2作F2A⊥PF1于A，由题意知|F2A|＝2a，|F1F2|＝2c，则|AF1|＝2b，∴|PF1|＝4b，而|PF1|－|PF2|＝2a，∴4b－2c＝2a，c＝2b－a，c2＝(2b－a)2，a2＋b2＝4b2－4ab＋a2，解得＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知拋物线y2＝4x上一点M与该拋物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x2＝________.解析：拋物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据拋物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.答案：312．若双曲线的一个焦点为(0，－13)且离心率为，则其标准方程为________．解析：依题意，知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，所以a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1.答案：－＝113．若椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则它的长半轴长为______________．解析：当0＜m＜1时，＋＝1，e2＝＝1－m＝，m＝，a2＝＝4，a＝2；当m＞1时，＋＝1，a＝1.应填1或2.答案：1或214．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1、F2，O为坐标原点，点P是椭圆上的一点，点M为PF1的中点，|OF1|＝2|OM|，且OM⊥PF1，则该椭圆的离心率为________．解析： OM綊F2P，又|OF1|＝2|OM|，∴|PF2|＝2|OM|＝c， PF2⊥PF1，∴(2a－c)2＋c2＝(2c)2，∴e2＋2e－2＝0，得e＝－1.答案：－1三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知双曲线与椭圆＋＝1...
