3.1二维形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式A级基础巩固一、选择题1．函数y＝＋2的最大值是()A.B.C．3D．5解析：根据柯西不等式，知y＝1·＋2·≤·＝.答案：B2．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为()A．24B．30C．36D．48解析：(x＋y＋z)≥＝36，所以＋＋≥36.答案：C3．已知a，b＞0，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是()A．2B.C．6D．12解析：(＋)2＝(1·＋1·)2≤(12＋12)·(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，当且仅当＝，即a＝b时等号成立．答案：D4．已知a＋b＝1，则以下成立的是()A．a2＋b2＞1B．a2＋b2＝1C．a2＋b2＜1D．a2b2＝1解析：由柯西不等式，得1＝a＋b≤·＝1，当且仅当＝时，上式取等号，所以ab＝，即a2b2＝(1－a2)(1－b2)，于是a2＋b2＝1.答案：B5．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为()A．1B．2C．－1D．不确定解析：因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当ai＝kxi(i＝1，2，…，n)时等号成立．所以a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.1答案：A二、填空题6．函数y＝＋的最大值是________．解析：因为(＋)2≤(1＋1)(x－1＋5－x)＝8，当且仅当＝，即x＝3时，等号成立，所以＋≤2，函数y取得最大值2.答案：27．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________．解析：根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)×(x2＋y2＋z2)≥(1·x＋1·y＋1·z)2＝(x＋y＋z)2＝，当且仅当x＝y＝z时等号成立．答案：8．若函数y＝a＋的最大值为2，则正数a的值为________．解析：(a＋)2＝≤(a2＋4)＝(a2＋4)，由已知得(a2＋4)＝20，解得a＝±2.又因为a＞0，所以a＝2.答案：2三、解答题9．已知m＞0，n＞0，m＋n＝p，求证：＋≥，指出等号成立的条件．证明：根据柯西不等式，得(m＋n)≥＝4.于是＋≥＝.当m＝n＝时等号成立．10．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．解：由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.因为x＋2y＋z＝1，所以3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为.B级能力提升1．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为()A.，，B.，，C．1，，D．1，，解析：当且仅当＝＝时，取到最小值，所以联立可得x＝，y＝，z＝.答案：B2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是________．解析：因为2x＋y＝2x·1＋y·1≤·＝·＝，所以2x＋y的最大值为.答案：3．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.(1)求证：＋＋≥；(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．(1)证明：·(y＋2z＋z＋2x＋x＋2y)≥·＋·＋·＝1，即3≥1，所以＋＋≥.(2)解：由基本不等式，得4x＋4y＋4z2≥3，因为x＋y＋z＝1，2所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝＋≥，故4x＋4y＋4z2≥3＝3，当且仅当x＝y＝，z＝时等号成立，所以4x＋4y＋4z2的最小值为3.3
