一课一测一、选择题1.下列四个命题中，错误命题的个数是（）①过球面上任意两点可作且只可作一个大圆；②球的表面积是球大圆面积的4倍；③球的任意两个截面圆心和球心三点必共线；④球面上两点的距离是指这两点所在截面上以这两点为端点的劣弧的长.A.1B.2C.3D.42.已知球面上两点间的球面距离为5cm,过这两点的球半径成60°角，则球的半径为（）A.cmB.cmC.5πcmD.15πcm3.地球上两地位于同一经度圈上，它们所在的纬度分别是北纬20°和南纬16°，则它们之间的最短距离与地球半径之比为（）A.B.C.D.4.过球面上两点的球的大圆的个数（）A.有且只有一个B.有且只有两个C.无数个D.一个或无数多个5.有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面相切，第二个球与正方体各棱相切，第三个球过正方体各顶点，则这三个球的体积之比为（）A.1∶2∶3B.1∶∶C.1∶2∶3D.1∶4∶96.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面的面积是（）A.πB.πC.4πD.π二、填空题7.若一个轴截面是正方形的圆柱的侧面积和一个球的表面积相等，则它们的体积之比为_____.8.已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离等于_____.9.一个球的半径为a，放在墙角与两个墙面及地面都相切，那么球心与墙角顶点的距离为_____.10.在半径为1的球中有一个截面，以这个截面为公共底面的一个圆柱和一个圆锥都内接于球，并且体积相等，则这个截面圆的半径为_____.三、解答题11.设地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长为πR,求A、B两地间的球面距离.12.已知半径为R的球面上有A、B、C三点，满足A、B与A、C间的球面距离都是R，B、C间的球面距离为R，过A、B、C三点作球的截面，求球心O到此截面的距离.13.如图9－10－10，四棱锥ABCD的各组对棱分别互相垂直，且AC=8，BD=6，求证：六条棱的中点在同一球面上，并求这个球面的面积.图9－10－1014.正三棱锥与它的内切球的体积之比为27∶4π，求这个棱锥的侧面与底面所成二面角的正切值.参考答案一、1.C2.A3.B4.D5.C6.D二、7.8.1或79.a10.或三、11.提示：设小圆圆心为O1，易求∠AO1B=π，于是AO1B为小圆直径，可求出∠AOB=90.∴A、B两地间的球面距离为R.12.解：可得∠AOB=∠AOC=，∠BOC=，∴AB=AC=R，BC=R，∴△ABC为直角三角形.∴截面圆半径为R，d=.13.解：可证四边形EFGH是矩形，其对角线EG的中点O到E、F、G、H距离相等.同理可证四边形EKGL也是矩形，O到K、L的距离等于OE，故六个中点都在以O为球心，OE为半径的球面上，易求OE=，∴S球=25π.图9－10－1114.解：如图9－10－11所示，为过两切点O1、E及球心O的截面，则PA为侧棱，PD为斜高，∠PDA为所求二面角的平面角.设∠PDA=2α,三棱锥底面边长为a，则AD=a,O1D=a，OO1=a·tanα,PO1=a·tan2α,∴V三棱锥=a3·tan2α,V球=πa3·tan3α.又∵V三棱锥∶V球=27∶4π，∴tan2α=tan3α,即=tan3α.又∵0<α<,∴tanα=或tanα=.∴tan2α=或tan2α=2.
