课时分层作业(二十五)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－2DD1；④(B1D1＋A1A)＋DD1.其中能够化简为向量BD1的是()A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]A2．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是()A．aB．bC．cD．无法确定C[∵a＝p＋q，∴a与p、q共面，∵b＝p－q，∴b与p、q共面，∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq，∴c与p、q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.]3．如图所示，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN等于()A.a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD.a＋b－cB[MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.所以应选B.]二、填空题4．若{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，则向量a，b，c中与m，n可以构成空间向量另一个基底的向量是________．[解析]显然a或b均与m，n共面，c与m，n不共面，故为c.[答案]c5．如图所示，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若AE＝OD＋xOB＋yOA，则x＝________，y＝________.[解析]∵AE＝OE－OA＝OC－OA＝(OD＋DC)－OA＝OD＋AB－OA＝OD＋(OB－OA)－OA＝OD＋OB－OA，∴x＝，y＝－.[答案]－6．已知a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a∥b，则x＝________，y＝________.[解析]∵a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，又∵a∥b，显然y≠0，∴＝＝，∴x＝，y＝－.[答案]－7.如图，在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O，M分别是AC，DD1的中点，写出下列向量的坐标．AM＝________，OB1＝________.[解析]∵A(2,0,0)，M(0,0,1)，1B1(2,2,2)，O(1,1,0)，∴AM＝(－2,0,1)，OB1＝(1,1,2)．[答案](－2,0,1)(1,1,2)8.已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，点M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量OA，OB，OC表示向量OG为________．[解析]OG＝OM＋MG＝OM＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋＝OA＋(OB＋OC)－OA＝OA＋OB＋OC.[答案]OA＋OB＋OC三、解答题9．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：A1O－AB－AD；(2)设E是棱DD1上的点且DE＝DD1，若EO＝xAB＋yAD＋zAA1，试求x，y，z的值．[解](1)∵AB＋AD＝AC，∴A1O－AB－AD＝A1O－(AB＋AD)＝A1O－AC＝A1O－AO＝A1A.(2)∵EO＝ED＋DO＝D1D＋DB＝D1D＋(DA＋AB)＝A1A＋DA＋AB＝AB－AD－AA1.即x＝，y＝－，z＝－.10．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，DA＝DC＝4，DD1＝3，点P是线段BD1上一动点，E是BC的中点，当点P在什么位置时，PE∥A1B?[解]以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,3)．∵E为BC的中点，∴E(2,4,0)．∴A1B＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，BD1＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，EB＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP＝λBD1，则EP＝EB＋BP＝EB＋λBD1.∵EB＝(2,0,0)，λBD1＝(－4λ，－4λ，3λ)，∴EP＝(2－4λ，－4λ，3λ)．由PE∥A1B，得EP∥A1B，∴∴λ＝.2此时点P为BD1的中点．故当点P为BD1的中点时，PE∥A1B.[能力提升练]1.如图，空间四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，则AG＋BE＋CA的化简结果为()A.AFB.AHC.AED.CFA[∵G是△BCD的重心，∴|GE|＝|BE|，∴GE＝BE.又EF＝CA，∴AG＋BE＝AG＋GE＝AE，AE＋EF＝AF，从而AG＋BE＋CA＝AF.]2．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且AC＝AB，则C点坐标为________．[解析]设C点坐标为(x，y，z)，则AC＝(x－4，y－1，z－3)．∵AB＝(－2，－6，－2)，∴AB＝(－2，－6，－2)＝，∴解得[答案]3．一个向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．[解析]设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，则p＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又p＝a＋2b＋3c，∴∴x＝，y＝－，z＝3.∴p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为.[答案]4．如图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量OA，OB，OC表示OP和OQ.[解]OP＝OM＋MP＝OA＋\f(2＝OA＋(ON－OM)＝OA＋＝OA＋×(OB＋OC)＝OA＋OB＋OC.OQ＝OM＋MQ＝OA＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋＝OA＋×(OB＋OC)＝OA＋OB＋OC.3
