课时提升作业(二十四)平面向量的概念及其线性运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·贵阳模拟)如图,正六边形ABCDEF中,=()【解析】选D.因为六边形ABCDEF是正六边形,所以,故选D.2.(2015·石家庄模拟)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是()A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数λ,使a=λb【解析】选D.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则a与b共线同向,故D正确.【误区警示】解答本题易误选B,若a=b,则|a+b|=|a|+|b|,反之不一定成立.3.已知=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则下列一定共线的三点是()A.A,B,CB.A,B,DC.B,C,DD.A,C,D【解析】选B.因为=3a+6b=3(a+2b)=3,又,有公共点A.所以A,B,D三点共线.4.(2015·攀枝花模拟)在△ABC中,已知D是AB边上一点,则实数λ=()【解析】选D.如图,D是AB边上一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,过点D作DF∥AC,交BC于点F,连接CD,则【加固训练】已知△ABC和点M满足=0,若存在实数m使得成立,则m=()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.根据题意,由于△ABC和点M满足=0,则可知点M是三角形ABC的重心,设BC边的中点为D,则可知所以故m=3.5.(2015·兰州模拟)若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足,则△ABM与△ABC的面积比为()【解题提示】取AB的中点为D,利用已知转化为之间的关系求解即可.【解析】选C.取AB的中点为D,则由得即2=3,又与有公共点M,故D,M,C三点共线,且即△ABM与△ABC两高之比为3∶5,故面积之比为.6.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若则m+n的值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为O是BC的中点,所以又因为所以因为M,O,N三点共线,所以=1,所以m+n=2.7.(2015·泉州模拟)已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:①=a-b;②=a+b;③=-a+b;④=0.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.②③④【解析】选D.所以正确命题为②③④.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在▱ABCD中,=a,=b,3,M为BC的中点,则=.(用a,b表示)【解析】如图所示.答案:【方法技巧】利用基底表示向量的方法在用基底表示向量时,要尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角形法则进行求解,同时要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.【加固训练】(2014·海口模拟)在△ABC中,=c,=b,若点D满足,则=.【解析】如图,因为在△ABC中,=c,=b,且点D满足,答案:b+c9.(2015·长春模拟)已知m,n满足|m|=2,|n|=3,|m-n|=,则|m+n|=.【解题提示】利用向量加减法几何意义及平行四边形对角线与边的关系求解.【解析】由平行四边形的对角线与边的关系及|m-n|与|m+n|为以m,n为邻边的平行四边形的两条对角线的长,得|m-n|2+|m+n|2=2|m|2+2|n|2=26,又|m-n|=,故|m+n|2=26-17=9,故|m+n|=3.答案:310.给出下列命题:①若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②0a=0;③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;④若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中正确命题的序号是.【解析】①正确;②数乘向量的结果为向量,而不是实数,故不正确;③当a=b时|a|=|b|且a∥b,反之不成立,故错误;④当a,b不同向时不成立,故错误.答案:①(20分钟40分)1.(5分)已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足则点P一定为三角形ABC的()A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点【解析】选B.设AB的中点为M,则即3,也就是,又有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近C点的一个三等分点.2.(5分)(2015·大理模拟)O是△ABC所在平面外一点且满足,λ为实数,则动点P的轨迹必经过△ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心【解题提示】明确是方向上的单位向量,利用平行四边形法则可转化为与共线后可解.【解析】选B.如图,设已知均为单位向量,故▱AEDF为菱形,所以AD平分∠BAC,由得有公共点A,故A,D,P三点共线,所以P点在∠BAC的平分线上,故P的轨迹经过△ABC的内心.3.(5分)(2015·重庆模拟)若∀k∈R,恒成立,则△ABC的形状一定是.【解题提示】利用向量加减的几何意义,数形结合求解.【解析】如图,设由对任意k∈R,都有恒成立知,故△ABC为直角三...
