（全国通用）高考数学 考点一遍过 专题20 数列的概念与简单表示法（含解析）文-人教版高三全册数学试题VIP免费

考点20数列的概念与简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.一、数列的相关概念1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成简记为．2．数列与函数的关系数列可以看成定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数，当自变量按照由小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集（或其有限子集）这一条件.3．数列的分类分类标准名称含义按项的有穷数项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10个数列无穷数列项数无限的数列，如数列1，2，3，4，…按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，…递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，…常数列各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，…摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2按项的有界性有界数列任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，…无界数列不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，…二、数列的表示方法（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况．（2）解析法：主要有两种表示方法，①通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即．②递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点．三、数列的前n项和与通项的关系数列的前n项和通常用表示，记作，则通项．若当时求出的也适合时的情形，则用一个式子表示，否则分段表示．考向一已知数列的前几项求通项公式1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用或处理．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想.2．常见的数列的通项公式：（1）数列1，2，3，4，…的通项公式为；（2）数列2，4，6，8，…的通项公式为；（3）数列1，4，9，16，…的通项公式为；（4）数列1，2，4，8，…的通项公式为；（5）数列1，，，，…的通项公式为；（6）数列，，，，…的通项公式为．3．根据图形特征求数列的通项公式，首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化，其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律，最后归纳猜想出通项公式．典例1写出下列数列的一个通项公式:（1）；（2）a,b,a,b,a,b,(其中a,b为实数)；（3）.【解析】（1）数列各项的绝对值为连续的正偶数：2,4,6,8,10,,且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为.（2）这是一个摆动数列,奇数项为a,偶数项为b,所以它的一个通项公式为an=.（3）变换数列的各项为,各项分母为1×3,2×4,3×5,4×6,,第n项分母为n(n+2),所以数列的一个通项公式是.典例2如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_______块．（用含n的代数式表示）【答案】4n+8从具体数中，我们要抽象出瓷砖的块数与图形的个数之间的关系，就需要对...