（浙江专版）高考数学二轮专题复习 保分大题规范专练（五）-人教版高三全册数学试题VIP免费

保分大题规范专练（五）1．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin－cos＝.(1)求cosB的值；(2)若b2－a2＝ac，求的值．解：(1)由sin－cos＝平方得1－sinB＝，即sinB＝，又sin>cos，则∈，所以B∈，故cosB＝－.(2)由余弦定理得b2＝a2＋ac＝a2＋c2－2accosB，即a＝c－2a·，所以c＝a，故＝.2.等腰三角形ABC中，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使二面角PAEC的大小为120°，设点P在面ABE上的射影为H.(1)证明：点H为BE的中点；(2)若AB＝AC＝2，AB⊥AC，求直线BE与平面ABP所成角的正切值．解：(1)证明：依题意，AE⊥BC，则AE⊥EB，AE⊥EP，EB∩EP＝E，∴AE⊥平面EPB，∴∠CEP为二面角CAEP的平面角，则点P在平面ABE上的射影H在EB上，由∠CEP＝120°得∠PEB＝60°，∵EP＝CE＝EB，∴△EBP为正三角形，∴EH＝EP＝EB，∴H为EB的中点．(2)法一：过点H作HM⊥AB于点M，连接PM，过点H作HN⊥PM于点N，连接BN，则AB⊥平面PHM，又AB⊂平面PAB，∴平面PHM⊥平面PAB，∴HN⊥平面PAB，∴HB在平面PAB上的射影为NB，∴∠HBN为直线BE与平面ABP所成的角．依题意，BE＝BC＝2，BH＝BE＝1.在Rt△HMB中，HM＝，在△EPB中，PH＝，∴在Rt△PHM中，PM＝，HN＝＝.∴sin∠HBN＝＝＝，∴tan∠HBN＝，∴直线BE与平面ABP所成角的正切值为.法二：以E为坐标原点，以EA，EB所在直线为x，y轴，以过E点且平行于PH的直线为z轴建立空间直角坐标系，则E(0,0,0)，B(0,2,0)，A(2,0,0)，P(0,1，)，BE＝(0，－2,0)，AB＝(－2,2,0)，AP＝(－2,1，)，设平面ABP的法向量n＝(x，y，z)，则即取n＝(3,3，)，设直线BE与平面ABP所成的角为α，则sinα＝＝＝，∴tanα＝，1∴直线BE与平面ABP所成角的正切值为.3．已知函数f(x)＝x2－x3，g(x)＝ex－1(e为自然对数的底数)．(1)求证：当x≥0时，g(x)≥x＋x2；(2)记使得kf(x)≤g(x)在[0,1]上恒成立的最大实数k为n0，求证：n0∈[4,6]．证明：(1)设h(x)＝g(x)－x－x2，即h(x)＝ex－1－x－x2，h′(x)＝ex－1－x，令m(x)＝h′(x)，则m′(x)＝ex－1，∴当x≥0时，m′(x)≥0，h′(x)为增函数，又h′(0)＝0，∴h′(x)≥0，∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增，则h(x)≥h(0)＝0，∴g(x)≥x＋x2.(2)由(1)知当kf(x)≤x＋x2时，必有kf(x)≤g(x)成立，下面先证：当x∈[0,1]时，4f(x)≤x＋x2，当x＝0或1时，上式显然成立，∴只需证当x∈(0,1)时，4(x－x2)≤1＋x⇔8x2－7x＋2≥0，而8x2－7x＋2＝82＋>0，∴当k≤4时，必有kf(x)≤g(x)成立，∴n0≥4；另一方面，当k＝6时，令F(x)＝6f(x)－g(x)＝6x2－6x3－ex＋1，F′(x)＝12x－18x2－ex<0，F(0)＝－e0＋1＝0，∴当k＝6时，kf(x)≤g(x)成立，当k>6时，取x＝，kf(x)－g(x)＝＋1－≥－>0，∴当k≥6时，kf(x)≤g(x)不恒成立，∴n0≤6.综上，n0∈[4,6]．2