层级一第二练复数、平面向量限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2020·昆明模拟)已知复数z＝则()A．z的模为2B．z的实部为1C．z的虚部为－1D．z的共轭复数为1＋i解析：C[根据题意可知，＝＝－1－i，所以z的虚部为－1，实部为－1，模为，z的共轭复数为－1＋i，故选C.]2．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a＋i的模等于()A.B.C.D.解析：C[由题意可设＝ti，t≠0，∴2－i＝－t＋tai，∴解得∴z＝2a＋i＝1＋i，∴|z|＝，故选C.]3．(2019·全国Ⅱ卷)已知AB＝(2,3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：C[ BC＝AC－AB＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，∴|BC|＝＝1，∴t＝3，∴BC＝(1,0)，∴AB·BC＝(2,3)·(1,0)＝2.]4．(2019·北京卷)设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB＋AC|＞|BC|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：C[本题考查充要条件的概念与判断、平面向量的模、夹角与数量积，同时考查了转化与化归数学思想． A、B、C三点不共线，∴|AB＋AC|＞|BC|⇔|AB＋AC|＞|AB－AC|⇔|AB＋AC|2＞|AB－AC|2⇔AB·AC＞0⇔AB与AC的夹角为锐角．故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB＋AC|>|BC|”的充分必要条件，故选C.]5．(2020·南昌模拟)欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，ei表示的复数在复平面中位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：A[根据欧拉公式得ei＝cos＋isin＝＋i，它在复平面中对应的点为，位于复平面中的第一象限．]6．(2019·吉林三模)已知z是纯虚数，是实数，那么z等于()A．2iB．iC．－iD．－2i解析：D[设z＝ai(a≠0，a∈R)，则1＝＝＝，因为是实数，所以2＋a＝0⇒a＝－2，故z＝－2i.]7．(2020·兰州诊断考试)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)等于()A．－B．－C.D.解析：A[如图， AP＝2PM，∴AP＝PB＋PC，∴PA·(PB＋PC)＝－PA2， AM＝1且AP＝2PM，∴|PA|＝，∴PA·(PB＋PC)＝－.]8．(多选题)下列命题正确的是()A．若复数z1，z2的模相等，则z1，z2的共轭复数B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数C．复数z是实数的充要条件是z＝z(z是z的共轭复数)D．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则x＋y＝1解析：BC[本题考查复数的基本概念和向量的坐标运算．对于A，z1和z2可能是相等的复数，故A错误；对于B，若z1和z2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；对于C，由a＋bi＝a－bi得b＝0，故C正确；对于D，由题可知，A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x＋y,2x－y)，即解得故D错误．故选BC.]9．(2019·张家界三模)边长为2的等边△ABC所在平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则MA·MB＝()A．－B.C.D.解析：A[CA·CB＝2×2×cos＝2，MA·MB＝(CA－CM)·(CB－CM)＝·＝CA·CB－CA2－CB2＋CA·CB＝－×22－×22＋＝－.]10.在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记AB，BC分别为a，b，则AH＝()A.a－bB.a＋bC．－a＋bD．－a－b解析：B[如图，过点F作BC的平行线交DE于G，2则G是DE的中点，且GF＝EC＝BC，∴GF＝AD，易知△AHD∽△FHG，从而HF＝AH，∴AH＝AF，AF＝AD＋DF＝b＋a，∴AH＝＝a＋b，故选B.]11．(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A.－1B.＋1C．2D．2－解析：A[设e＝(1,0)，b＝(x，y)，则b2－4e·b＋3＝0⇒x2＋y2－4x＋3＝0⇒(x－2)2＋y2＝1如图所示，a＝OA，b＝OB，(其中A为射线OA上动点，B为圆C上动点，∠AOx＝.)∴|a－b|min＝|CD|－1＝－1.(其中CD⊥OA.)]12．(2020·贵阳模拟)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两...
