3.2.2复数代数形式的乘除运算A级：基础巩固练一、选择题1．若复数z满足zi＝1＋i，则z的共轭复数是()A．－1－iB．1＋iC．－1＋iD．1－i答案B解析解法一：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则zi＝(a＋bi)i＝－b＋ai＝1＋i，得a＝1，b＝－1，则z＝1－i，所以z＝1＋i.解法二：复数z＝＝(1＋i)(－i)＝1－i，则z的共轭复数z＝1＋i.2．已知复数z满足z(1＋i)＝－i，则|z|＝()A.B.C．1D.答案B解析因为z＝＝＝，所以|z|＝.3．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3＋2i，则z1·z2＝()A．12＋13iB．13＋12iC．－13iD．13i答案D解析因为复数z1＝3＋2i在复平面内对应的点关于直线y＝x对称的点表示的复数z2＝2＋3i，所以z1·z2＝(3＋2i)(2＋3i)＝13i.故选D.4．在复平面内，复数z＝＋i3对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析复数z＝＋i3＝－i＝－i＝－i，其在复平面上对应的点位于第四象限．5．已知＝1－bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a－bi|＝()A．3B．2C．5D.答案D解析a＝(1－bi)(1＋i)＝1＋b＋(1－b)i，由复数相等的充要条件可知∴∴|a－bi|＝＝.6．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则的虚部为()A.B．－C.D．－答案D解析因为z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1－2i，所以z2＝－1－2i，＝＝＝＝－i，所以其虚部为－.二、填空题7．若复数(1＋ai)2(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则复数1＋ai的模是________．答案解析因为(1＋ai)2＝1－a2＋2ai是纯虚数，所以1－a2＝0且2a≠0，所以a2＝1，复数1＋ai的模为＝.8．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z＝________.答案3－i解析∵＝4＋2i，∴zi＋z＝4＋2i，即z(1＋i)＝4＋2i，∴z＝＝3－i.19．已知复数z＝，z是z的共轭复数，则z·z＝________.答案解析z＝＝＝－＋，所以z·z＝·＝.三、解答题10．设z＝＋i(i是虚数单位)，求z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6.解z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，所以原式＝＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋＋6＝3－3i.B级：能力提升练11．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z的共轭复数．(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．解(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应向量为(－2,4＋a)，其模为＝.又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，所以实数a的取值范围是－8≤a≤0.12．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．解(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，所以2ab＝2.所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1，即△ABC的面积为1.23
