高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.2 离散型随机变量的方差高效演练 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP免费

2.3.2离散型随机变量的方差[A级基础巩固]一、选择题1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C·，k＝0，1，2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为()A．8B．12C.D．16解析：由题意可知ξ～B，所以n＝E(ξ)＝24.所以n＝36.所以D(ξ)＝n××＝×36＝8.答案：A2．已知随机变量X～B(100，0.2)，那么D(4X＋3)的值为()A．64B．256C．259D．320解析：由X～B(100，0.2)知n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256.答案：B3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是()环数k8910P(ξ＝k)0.30.20.5P(η＝k)0.20.40.4A.甲B．乙C．一样D．无法比较解析：E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56＜D(ξ)，所以乙稳定．答案：B4．已知随机变量ξ的分布列如下：ξmnPa若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于()A．0B．2C．1D.解析：由题意得a＝1－＝.所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝×(m－2)2＋(n－2)2＝2(n－2)2，所以当n＝2时，D(ξ)取最小值为0.答案：A5．已知p，q∈R，X～B(5，p)．若E(X)＝2，则D(2X＋q)的值为()A．2.4B．4.8C．2.4＋qD．4.8＋q1解析：因为X～B(5，p)，所以E(X)＝5p＝2，所以p＝，D(X)＝5××＝，所以D(2X＋q)＝4D(X)＝4×＝4.8，故选B.答案：B二、填空题6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.答案：0.57．已知X的分布列为：X－101P若η＝2X＋2，则D(η)的值为________．解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝，D(η)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝.答案：8．随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．解析：设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则解得所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.答案：三、解答题9．袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的得分之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．解：由题意可知，X的所有可能的取值为5，4，3.P(X＝5)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝3)＝＝，故X的分布列为：X543PE(X)＝5×＋4×＋3×＝4，D(X)＝(5－4)2×＋(4－4)2×＋(3－4)2×＝.10．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的均值和方差．解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，则P(A)＝＝.所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为.2(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.随机变量X的分布列为X01234P因此，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.D(X)＝×＋×＋×＋×＋×＝.[B级能力提升]1．设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于()A．mB．2m(1－m)C．m(m－1)D．m(1－m)解析：随机变量ξ的分布列为：ξ01P1－mm所以E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．答案：D2．抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________．解析：因为3≤n≤8，ξ服从二项分布B，且P(ξ＝1)＝，所以C··＝，即n＝，解得n＝6，所以方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××＝.答案：3．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；3(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、期望E(X)及方差D(X)．解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3...