第四章导数应用一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1x2等于()A．9B．－9C．1D．－1解析： f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∴x1x2＝1.答案：C2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在点x＝－3处取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在点x＝－3处取得极值，所以f′(－3)＝3×(－3)2－6a＋3＝0，所以a＝5.答案：D3．函数f(x)＝x3＋ax＋1在(－∞，－1)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，则f(1)为()A.B．1C.D．－1解析： f′(x)＝x2＋a，又f′(－1)＝0，∴a＝－1，f(1)＝－1＋1＝.答案：C4.如果函数y＝f(x)的图像如右图，那么导函数y＝f′(x)的图像可能是下图中的()解析：由f(x)的图像可知，函数f(x)从左至右有四个单调区间，依次为递增、递减、递增、递减，故f′(x)的图像从左至右应有四个部分，其函数值依次为正、负、正、负，故选A.答案：A5．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是()A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]，(0,1)D．[－1,0)，(0,1]解析：f′(x)＝2x－＝≤0.又 x＞0，∴x2－1≤0，∴0＜x≤1.答案：A16．已知函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在(－∞，＋∞)上是增函数，则()A．m≤2或m≥4B．－4≤m≤－2C．2≤m≤4D．以上皆不正确解析：f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋(15m2－2m－7)≥0恒成立，所以4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)≤0恒成立，所以4m2－24m＋32≤0，∴2≤m≤4.答案：C7．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图像如图所示．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为()A.∪[2,3)B.∪C.∪[1,2)D.∪∪解析：由条件f′(x)≤0知，选择f(x)图像的下降区间即为解．答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21B．a＝0或a＝7C．a＜0或a＞21D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，令f′(x)＝0，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．故选A.答案：A9．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产()A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)，令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值又是函数的最大值点．答案：A10．若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf′(x)＞－f(x)恒成立，且常数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是()A．af(b)＞bf(a)B．af(a)＞bf(b)C．af(a)＜bf(b)D．af(b)＜bf(a)2解析：令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，由xf′(x)＞－f(x)，得xf′(x)＋f(x)＞0，即F′(x)＞0，所以F(x)在R上为递增函数．因为a＞b，所以af(a)＞bf(b)．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11.如图是一个三次多项式函数f(x)的导函数f′(x)的图像，则当x＝________时，函数f(x)取得极小值．解析：由f′(x)的图像可知，f(x)在(0,4)内单调递减，在(4，＋∞)内单调递增，故当x＝4时，f(x)取得极小值．答案：412．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a－b＝________.解析： f′(x)＝3x2＋2ax＋b，则1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，∴1＋3＝－，1×3＝，∴a＝－6，b＝9，∴a－b＝－15.答案：－1513．函数f(x)＝xlnx(x>0)的单调递增区间是________．解析： f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1.由f′(x)≥0，即lnx＋1≥0，∴x≥.∴单调递增区间为.答案：14．已知函数f(x)＝2lnx＋(a＞0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：f(x)≥2即a≥2x2－2x2lnx，令g(x)＝2x2－2x2lnx，则g′(x)＝2x(1－2lnx)．由g′(x)＝0得x＝e，0(舍去)，且0＜x＜e时，g′(x)＞0；当x＞e时，g′(x)＜0，∴x＝e时g(x)取最大值g(e)＝e.∴a≥e.答案：a≥e三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证...
