第一章3.23.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义A级基础巩固一、选择题1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(B)A．－2B．4C．3D．－4[解析]z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B．2．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(D)A．3B．2C．1D．－1[解析]z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i．∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1．3．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是(A)A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形[解析]|AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2．故选A．4．▱ABCD中，点A、B、C分别对应复数4＋i、3＋4i、3－5i，则点D对应的复数是(C)A．2－3iB．4＋8iC．4－8iD．1＋4i[解析]AB对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，设点D对应的复数为z，则DC对应的复数为(3－5i)－z．由平行四边形法则知AB＝DC，∴－1＋3i＝(3－5i)－z，∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i．故应选C．二、填空题5．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根以及实数k的值分别为或．[解析]方程的实根必然适合方程，设x＝x0为方程的实根，代入整理后得a＋bi＝0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x0和k的方程组，通过解方程组可得x及k的值．6．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝＋i，则cos(α＋β)的值为．[解析]∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝＋i，∴①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，即cos(α＋β)＝．三、解答题7．已知平行四边形ABCD中，AB与AC对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．1(1)求AD对应的复数；(2)求DB对应的复数；(3)求△APB的面积．[解析](1)由于ABCD是平行四边形，所以AC＝AB＋AD，于是AD＝AC－AB，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即AD对应的复数是－2＋2i．(2)由于DB＝AB－AD，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即DB对应的复数是5．(3)由于PA＝CA＝－AC＝，PB＝DB＝，于是PA·PB＝－，而|PA|＝，|PB|＝，所以··cos∠APB＝－，因此cos∠APB＝－，故sin∠APB＝，故S△APB＝|PA||PB|sin∠APB＝×××＝．即△APB的面积为．B级素养提升一、选择题1．(2018·福州高二检测)已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为(C)A．1B．2C．－2D．－2或1[解析]由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得⇒a＝－2．2．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是(D)A．3B．4C．5D．6[解析]因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6．二、填空题3．(2018·大连高二检测)在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为z0＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为－4．[解析]因为OA＋OC＝OB，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以得a－b＝－4．4．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为2．[解析]由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2．三、解答题5．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．2[解析](1)因为向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，所以向量AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i．又OC＝OA＋AC，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i．因为AD＝BC，所以向量AD对应的复数为3－i，即AD＝(3，－1)．设D(x，y)，则AD＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，所以，解得所以点D对应的复数为5．(2)因为BA·BC＝|BA||BC|cosB，所以cosB＝＝＝．所以sinB＝．所以S＝|BA||BC|sinB＝××＝7，所以平行四边形ABCD的面积为7．6．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．[解析]设z＝x＋yi，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，∴|z＋1＋i|表示圆上的点到点(－1，－)的距离．又∵点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，∴圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0．3
