3-2-2复数代数形式的乘除运算[综合提升案·核心素养达成][限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝A．3－2iB．3＋2iC．－3－2iD．－3＋2i解析i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.答案D2．已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝A．－3－4iB．－3＋4iC．3－4iD．3＋4i解析解法一因为|3－4i|＝5，|3－4i|2＝25，所以z＝＝3＋4i.解法二因为(3－4i)z＝25，所以z＝＝3＋4i.答案D3．已知a是实数，i是虚数单位，复数是纯虚数，则a等于A．1B．－1C.D．－解析＝＝是纯虚数．则所以a＝1.答案A4．在复平面内，复数对应的点的坐标为A．(1，3)B．(3，1)C．(－1，3)D．(3，－1)解析∵＝＝i(3－i)＝1＋3i，又∵复数1＋3i对应复平面内的点(1，3)，故选A.答案A5．设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z等于A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i解析由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.答案A6．设复数z满足＝i，则|z|＝A．1B.C.D．2解析因为＝i，所以z＝＝＝i，故|z|＝1.答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2018·江苏)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．解析复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i的实部是2.答案28．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，所以z2＝(a＋bi)2＝(a2－b2)＋2abi，因为z2＝3＋4i，根据复数相等的定义知解得所以|z|＝＝.答案9．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则等于______．解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为z＋z＝4，所以a＝2，又因为z·z＝8，所以b2＋4＝8，所以b2＝4.所以b＝±2，即z＝2±2i，故＝±i.答案±i三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)计算：(1)＋；(2).解析这是两道含幂运算的问题，运算比较复杂，应尽量使用代数式运算技巧．(1)＋＝＋＝＋＝＋＝＋i＋＝＋i－－i＝0(2)解法一原式＝＝＝＝－－i＝－－i.解法二(技巧解法)原式＝＝(－ω2)4＝ω8＝ω2(∵ω6＝1)＝ω(∵ω2＝ω)＝－－i.答案(1)0(2)－－i11．(12分)已知复数z＝.(1)求z的实部与虚部．(2)若z2＋mz＋n＝1－i(m，n∈R，z是z的共轭复数)，求m和n的值．解析(1)z＝＝＝2＋i，所以z的实部为2，虚部为1.(2)把z＝2＋i代入z2＋mz＋n＝1－i，得(2＋i)2＋m(2－i)＋n＝1－i，解得：解得m＝5，n＝－12.12．(13分)设z∈C且|z|＝1，但z≠±1，判断是不是纯虚数，并说明理由．解析解法一设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1得a2＋b2＝1，∴＝＝＝＝i.由|z|＝1且z≠±1，得b≠0，a≠±1，∴为纯虚数．解法二∵|z|＝1，∴zz＝1.∴＝＝＝－＝－，∵z≠±1，∴≠0.∴是纯虚数．答案是纯虚数，理由略
