-1-第2课时基本不等式的应用-2-第2课时基本不等式的应用ZHISHISHULI知识梳理DIANLITOUXI典例透析ZHONGNANJUJIAO重难聚焦目标导航1.复习巩固基本不等式.2.能利用基本不等式证明一些简单的不等式,并会解决有关的实际应用问题.-3-第2课时基本不等式的应用ZHISHISHULI知识梳理DIANLITOUXI典例透析ZHONGNANJUJIAO重难聚焦目标导航1.重要不等式a2+b2≥2ab(1)证明:课本应用了图形间的面积关系推导出了a2+b2≥2ab,也可用分析法证明如下:要证明a2+b2≥2ab,只要证明a2+b2-2ab≥0,即证明(a-b)2≥0,这显然对任意a,b∈R成立,所以a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.(2)说明:①不等式中的a,b的取值是任意实数,它们既可以是具体的某个数,也可以是一个代数式.②公式中等号成立的条件是a=b,若a,b不能相等,则a2+b2≥2ab中的等号不能成立.③不等式a2+b2≥2ab可以变形为ab≤𝑎2+𝑏22,4𝑎𝑏≤a2+b2+2ab,2(a2+b2)≥(a+b)2等.-4-第2课时基本不等式的应用ZHISHISHULI知识梳理DIANLITOUXI典例透析ZHONGNANJUJIAO重难聚焦目标导航2.基本不等式如果a,b为正实数,那么𝑎+𝑏2≥ξ𝑎𝑏,当且仅当𝑎=𝑏时,式中等号成立.说明:(1)基本不等式反映了两个正数的和与积之间的关系,对它的准确理解应抓住两点:一是其成立的条件是a,b都是正数;二是“当且仅当a=b”时等号成立.(2)它还可以描述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.【做一做】若0<α<π,则2sinα+12sin𝛼的最小值是.答案:2-5-第2课时基本不等式的应用ZHISHISHULI知识梳理DIANLITOUXI典例透析ZHONGNANJUJIAO重难聚焦目标导航利用基本不等式解应用题的步骤剖析(1)审清题意,读懂题;(2)恰当地设出未知数;(3)建立数学模型,即从实际问题中抽象出函数的关系式,并指明函数的定义域,把实际问题转化为求函数最值的问题;(4)在函数的定义域内,利用基本不等式求出函数的最值;(5)根据实际问题写出答案.名师点拨不等式的应用题大都与函数相关联,在求最值时,基本不等式是经常使用的工具,但若对自变量有限制,一定要注意等号能否取到.若取不到,则必须利用函数的单调性去求函数的最值.-6-第2课时基本不等式的应用ZHISHISHULI知识梳理DIANLITOUXI典例透析ZHONGNANJUJIAO重难聚焦目标导航题型一题型二题型三利用基本不等式证明不等式【例1】已知a,b都是正数,且a+b=1,求证:ቀ1+1𝑎ቁቀ1+1𝑏ቁ≥9.分析结合条件a+b=1,将不等式左边进行适当变形,然后利用基本不等式进行证明即可.证明因为a>0,b>0,a+b=1,所以1+1𝑎=1+𝑎+𝑏𝑎=2+𝑏𝑎,同理1+1𝑏=2+𝑎𝑏,故ቆ1+1𝑎ቇቆ1+1𝑏ቇ=ቆ2+𝑏𝑎ቇ൬2+𝑎𝑏൰=5+2ቀ𝑏𝑎+𝑎𝑏ቁ≥5+4ට𝑏𝑎·𝑎𝑏=5+4=9.所以ቀ1+1𝑎ቁቀ1+1𝑏ቁ≥9ቀ当且仅当𝑎=𝑏=12时,等号成立ቁ.-7-第2课时基本不等式的应用ZHISHISHULI知识梳理DIANLITOUXI典例透析ZHONGNANJUJIAO重难聚焦目标导航题型一题型二题型三反思1.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.3.解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.-8-第2课时基本不等式的应用ZHISHISHULI知识梳理DIANLITOUXI典例透析ZHONGNANJUJIAO重难聚焦目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:1𝑎+1𝑏+1𝑐≥9.证明因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,所以1𝑎+1𝑏+1𝑐=ቀ1𝑎+1𝑏+1𝑐ቁ(𝑎+𝑏+𝑐)=3+ቀ𝑏𝑎+𝑎𝑏ቁ+ቀ𝑐𝑎+𝑎𝑐ቁ+ቀ𝑐𝑏+𝑏𝑐ቁ≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=13时,等号成立.故1𝑎+1𝑏+1𝑐≥9.-9-第2课时基本不等式的应用ZHISHISHULI知识梳理DIANLITOUXI典例透析ZHONGNANJUJIAO重难聚焦目标导航题型一题型二题型三实际应用题【例2】某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?ቀ注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积൱分析转化为求函数的最小...
