高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.4 二面角及其度量课后导练 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学试题VIP免费

3.2.4二面角及其度量课后导练基础达标1.在60°的二面角α-a-β内有一点P，P到α、β的距离分别为3和5，求P到棱a的距离（）A.3314B.9314C.143D.3答案：A2.已知α-l-β为直二面角，A、B在l上，AC、BD分别在面α、β内，且AC与l的夹角为45°（如下图的位置），BD⊥l,AC=2，AB=2，BD=4，求CD的长（）A.2B.23C.26D.4答案：C3.过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，若PA=AB，求平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小（）A.30°B.45°C.60°D.90°答案：B4.在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=a,AD=3a,∠ADC=arcsin55,又PA⊥平面ABCD，PA=a,则二面角P-CD-A为_______________.答案：arctan355.如右图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如果将△DAE和△CBE分别沿DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，求面PCD与面ECD所成的二面角_________________.答案：30°6.如右图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.1求证：平面ABC⊥平面BSC.证明：∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°,∴AB=AC,取BC的中点O,连AO、SO,则AO⊥BC,SO⊥BC,∴∠AOS为二面角A-BC-S的平面角.设SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°.∴BC=2a,SO=22a,AO2=AC2-OC2=a2-21a2=21a2.∴SA2=AO2+OS2.∴∠AOS=90°.从而平面ABC⊥平面BSC.7.如右图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=2，求二面角A-PB-C的大小.解：如题图,作CH⊥AB于H,因为PA⊥平面ABC,所以CH⊥PA,从而CH⊥平面PAB.作HD⊥PB于D,连结CD,由三垂线定理得CD⊥PB,所以∠CDH为二面角A-PB-C的平面角.在Rt△ACB中,CH=36321ABBCAC.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC.在等腰直角三角形PCB中,易知CD=1,在Rt△CHD中,sin∠CDH=CDCH=36.故二面角A-PB-C的大小是arcsin36.8.如右图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A-BD1-P的大小.2解：过P作PF⊥AD1于F,∵AB⊥平面AA1D1D,∴AB⊥PF,∴PF⊥平面ABD1.由点F作FE⊥BD1于E,连结EF,则PE为平面ABD1的斜线,EF为PE在平面ABD1内的射影,则PE⊥BD1.∴∠PEF为二面角A-BD1-P的平面角.∵Rt△AFP∽Rt△ADD1,∴11ADAPDDPF,∴PF=422121.在△PBD1中,PD1=PB=25,∵PE⊥BD1,∴BE=21BD1=23.在Rt△PBE中,PE=2222BEPB,在Rt△PEF中,sin∠PEF=21PEPF,∴∠PEF=30°,∴二面角A-BD1-P的大小为30°.9.如右图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD中，∠ABC＝90°，ＳA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝21.求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.解析：如右图,延长BA、CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱.3∵AD∥BC,BC=2AD,∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB.∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,EB是交线.又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB,故SB是SC在面SEB上的射影.∴CS⊥SE.∴∠BSC是所求二面角的平面角.∵SB=222ABSA,BC=1,BC⊥SB,∴tan∠BSC=22SBBC,即所求二面角的正切值为22.综合运用10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是AB、BC、DD1的中点.求二面角M-B1N-B的正弦值.解：用三垂线定理求二面角.BE⊥B1N,Q点为垂足,∵MB⊥平面BB1N,BQ为斜线MQ在平面BB1中的射影,且BQ⊥B1N,∴MQ⊥B1N.∴∠BQM为二面角M-B1N-B的平面角.设AB=1,在Rt△BEC中,BC=1,BE=25,cos∠NBQ=52BEBC.在Rt△BNQ中,BQ=BNcos∠NBQ=21·52=51.在Rt△MBQ中,4tan∠MQB=BQMB=5121=25,sin∠MQB=35.∴二面角M-B1N-B的正弦值为35.11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1=AB=1，M是CC1的中点，求面A1MB与面ABC成的角.解：对无棱二面角传统方法是先做出棱来,本题延长A1M交AC于N,连接BN,则可确定∠A1BA是所求二面角之平面角.以向量法解决这一类问题可以回避做图找角的过程.这里只要求出两半平面的法向量,求法向量夹角就可以了.简解:如右图建系,设面A1MB的法向量n=（1,m,n）,由MA1·n=0、BM·n=0,得m=33,n=332.又面ABC的法向量p=(0,0,1),可解得cos〈n,p〉22||||pnpn,即〈n,p〉=45°.因此,所求二面角的大小为45°.拓展研究12.如下图，几何体∠APC=90°，∠APB=60°，PB=BC=4，PC=3，求二面角B-PA-C的大小.解析：作BD⊥AP,D为垂足,∵CP⊥AP,5∴二面角B-PA-C的大小等于〈DB,PC〉.在Rt△PBD中,BD=PB·sin∠BPA=4·sin60°=23,DP=BP·cos∠BPA=4·cos60°=2.∵BC=BD+DP+PC,∴|BC|2=|BD|2+|DP|2+|PC|2+2BD·DP+2DP·PC+2BD·PC,即42=(23)2+22+42+2×23×4cos〈BD,PC〉.求得cos〈BD,PC〉=33.∴〈BD,PC〉=π-arccos33.于是〈BD,PC〉=arccos33.因此所求二面角B-PA-C为arccos336