课时分层作业(十五)空间向量的数量积运算(建议用时：60分钟)一、选择题1．正方体ABCDA′B′C′D′中，向量AB′与BC′的夹角是()A．30°B．45°C．60°D．90°C[BC′∥AD′，△AD′B′为正三角形，∴∠D′AB′＝60°，∴〈AB′，BC′〉＝60°．]2．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则()A．m∥nB．m⊥nC．m不平行于n，m也不垂直于nD．以上三种情况都有可能B[由题意知，m·a＝0，m·b＝0，则m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0．因此m⊥n．]3．如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为()A．B．C．D．B[ AC′＝AB＋BC＋CC′，∴AC′2＝(AB＋BC＋CC′)2＝AB2＋BC2＋CC′2＋2(AB·BC＋AB·CC′＋BC·CC′)＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos60°＋2×3cos60°)＝14＋2×＝23，∴|AC′|＝，即AC′的长为．]4．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°C[根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得AC·CD＝DB·CD＝0，∴AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝AC·CD＋|CD|2＋DB·CD＝|CD|2＝1，∴cos〈AB，CD〉＝＝，∴AB与CD所成的角为60°．]5．如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝()A．3B．7C．4D．6B[|PC|2＝PC·PC＝(PA＋AD＋DC)2＝|PA|2＋|AD|2＋|CD|2＋2PA·AD＋2AD·DC＋2PA·DC＝62＋42＋32＋2|AD||DC|cos120°＝49．所以|PC|＝7．]二、填空题6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________．22[ |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝132－46＋192＝484，故|a－b|＝22．]7．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．90°[不妨设棱长为2，则AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋BB1，cos〈AB1，BM〉＝＝＝0，故填90°．]8．如图所示，在一个直二面角αABβ的棱上有A，B两点，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．2[ CD＝CA＋AB＋BD＝AB－AC＋BD，∴CD2＝(AB－AC＋BD)2＝AB2＋AC2－2AB·AC＋BD2＋2AB·BD－2AC·BD＝16＋36＋64＝116，∴|CD|＝2．]三、解答题9．已知正四面体OABC的棱长为1．求：(1)OA·OB；(2)(OA＋OB)·(CA＋CB)；(3)|OA＋OB＋OC|．[解](1)OA·OB＝|OA|·|OB|·cos∠AOB＝1×1×cos60°＝．(2)(OA＋OB)·(CA＋CB)＝(OA＋OB)·(OA－OC＋OB－OC)＝(OA＋OB)·(OA＋OB－2OC)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1．(3)|OA＋OB＋OC|＝＝＝．10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC．[证明]取AB＝a，AD＝b，AA1＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1．则有AC＝AB＋AD＝a＋b，OB1＝OB＋BB1＝DB＋BB1＝(AB－AD)＋BB1＝a－b＋c，∴AC·OB1＝(a＋b)·＝|a|2＋a·b－a·b－|b|2＋a·c＋b·c＝－＝0．∴AC⊥OB1，即AC⊥OB1． AP＝AD＋DD1＝b＋c，∴OB1·AP＝·＝a·b－|b|2＋c·b＋a·c－b·c＋|c|2＝－＋＝0，∴OB1⊥AP，即OB1⊥AP．又 AC∩AP＝A，∴OB1⊥平面APC．1．已知边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1·AC的值为()A．－1B．0C．1D．2C[AO1＝AA1＋A1O1＝AA1＋(A1B1＋A1D1)＝AA1＋(AB＋AD)，而AC＝AB＋AD，则AO1·AC＝(AB2＋AD2)＝1，故选C．]2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．45°B[由于AB＝AC＋CD＋DB，则AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝CD2＝1．cos〈AB，CD〉＝＝，AB，CD〉＝60°．]3．如图所示，已知正三棱锥ABCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F分别是AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶2，则EF·BC＝________．a2[因为点E，F分别是AB，AD上的点，所以EF＝BD，所以EF·BC＝BD·BC，结合图形可知〈BD，BC〉＝60°，所以EF·BC＝BD·BC＝×a×a×cos60°＝a2．]4．...
