高考数学总复习：三角恒等变换一、知识结构：二、高考考点：1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.重点与难点分析：学习不同角的三角函数关系，是从学习两角和的余弦公式开始的,其余公式都可由这一基本公式通过角的代换或代数恒等变换得到，应试推其余公式，以保证对众多公式有一根本的、整体的认识。其次，应掌握每一公式的结构特点，功能及意义，能从正反两个方面使用公式解决问题。三、知识要点：（一）两角和、差的正、余弦、正切公式=_______①；______②；______③；理解：1、关注公式的形成以及发展方向：诱导公式←两角和差→二倍角公式→半角公式……；2、公式的适用条件(定义域)：（1）两个公式①、②对任意实数都成立，这表明①、②是R上的恒等式。等号的右边不妨称为与的展开式。（2）公式③中3、关注公式的特征(帮助记忆和寻找解题思路)公式①右边的结构是“正、余加余、正，角序都是”；公式②右边的结构是“余、余减正、正，角序也是”；公式③是用的和与积表示出了。4、公式的双方向运用以及与诱导公式的综合运用。正向用公式①、②，能把和差角的弦函数表示成单角的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角的弦函数。公式③正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简。注意：1、记住公式中角的顺序，函数的顺序，符号的顺序；2、诱导公式可以视为两角和差的特殊情况（二）二倍角公式1.在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式__________________注意：在公式中，角没有限制，但公式中，只有当时才成立。2.余弦的二倍角公式有三种：=______=______=______；解题时应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。3.二倍角公式不局限于和的二倍的形式，其它如是的二倍，，的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。（三）半角公式通常所说的半角公式是由倍角公式推导过来的；或要注意：(1)半角公式中正负号的选取由所在的象限确定。(2)半角都是相对于某个角来说的，如可以看作是的半角，可以看作是的半角等等。(3)正切半角公式成立的条件是正切还有另外两个半角公式：这两个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦的表达式。四、经典例题：例1.(1)已知:，求的值.(2)已知:是方程2x2+x-6=0的两个根，求的值.分析：依据题意，直接利用公式即可。解:（1）由已知可求得.当在第一象限而在第二象限时，.当在第一象限而在第三象限时，.当在第二象限而在第二象限时，.当在第二象限而在第三象限时，.（2）由韦达定理，得，，∴.说明:在解第（1）小题这种题目时，应注意，需要讨论在不同象限的情况.（2）直接利用两角差的正弦和两角和的正切公式，即所谓“正用公式”。例2.求下列各式的值①sin15°；②sin24°cos36°+cos24°cos54°；③。分析：①可将15°改写成60°-45°，再利用两角差的正弦公式；②若将式中的cos54°改写为sin36°，则恰为两角和的正弦；③将1+tan15°视为tan45°+tan15°,将1-tan15°视为1-tan45°tan15°，即利用tan45°=1，则式子恰为两角和的正切。解:①sin15°=sin(60°-45°)=sin60°cos45°-cos60°sin45°=.②原式=sin24°cos36°+cos24°sin36°=sin(24°+36°).③原式.例3．求值：分析：题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算。解：原式例4．已知，，，，求的值。分析：注意到，应把看成整体，可以更好地使用已知条件。欲求，只需求出。解： ，∴， ，∴。∴点评：解题中应用了式子的变换。体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有,,等.例5．求值：①cos36°cos72°②cos20°cos40°cos80°③...
