二第一课时椭圆的参数方程[课时作业][A组基础巩固]1．椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝()A．πB.C．2πD.π解析：∵点(－a,0)中x＝－a，∴－a＝acosθ，∴cosθ＝－1，∴θ＝π.答案：A2．椭圆(θ为参数)的离心率为()A.B.C.D.解析：椭圆方程为＋＝1，可知a＝5，b＝4，∴c＝＝3，∴e＝＝.答案：B3．椭圆(φ为参数)的焦点坐标为()A．(0,0)，(0，－8)B．(0,0)，(－8,0)C．(0,0)，(0,8)D．(0,0)，(8,0)解析：椭圆中心(4,0)，a＝5，b＝3，c＝4，故焦点坐标为(0,0)(8,0)，应选D.答案：D4．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的倾斜角α为()A.B.C.D.解析：M点的坐标为(2,2)，tanα＝，α＝.答案：A5．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为()A．2B．4C.＋D．2解析：椭圆为＋＝1，设P(cosθ，2sinθ)，x＋y＝cosθ＋sinθ＝2sin≤2.答案：D6．椭圆(θ为参数)的焦距为________．解析：∵a＝5，b＝2，c＝＝，∴2c＝2.∴焦距为2.答案：27．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋y的最大值是________．解析：因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，所以设x＝2cosα，y＝sinα，则2x＋y＝4cosα＋3sinα＝5sin(α＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.当sin(α＋φ)＝1时，2x＋y有最大值为5.答案：58．已知椭圆的参数方程为(φ为参数)，点M在椭圆上，对应的参数φ＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．解析：当φ＝时，1故点M的坐标为(1,2)．所以直线OM的斜率为2.答案：29．椭圆中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6，焦距是2，求椭圆的参数方程．解析：由题意，设椭圆的方程为＋＝1，则a＝3，c＝，∴b＝2，∴椭圆的普通方程为＋＝1，化为参数方程得(φ为参数)．10．如图，由椭圆＋＝1上的点M向x轴作垂线，交x轴于点N，设P是MN的中点，求点P的轨迹方程．解析：椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)，∴设M(2cosθ，3sinθ)，P(x，y)，则N(2cosθ，0)．∴消去θ，得＋＝1，即为点P的轨迹方程．[B组能力提升]1．两条曲线的参数方程分别是(θ为参数)和(t为参数)，则其交点个数为()A．0B．1C．0或1D．2解析：由得x＋y－1＝0(－1≤x≤0,1≤y≤2)，由得＋＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．答案：B2．直线＋＝1与椭圆＋＝1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积等于4，这样的点P共有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：如图，|AB|＝5，|AB|·h＝4，h＝.设点P的坐标为(4cosφ，3sinφ)，代入3x＋4y－12＝0中，＝，＝，当sin－1＝时，sin＝＞1，此时无解；当sin－1＝－时，sin＝，此时有2解．∴应选B.答案：B3．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.解析：曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝(舍去－)．答案：4．已知椭圆的参数方程为(t为参数)，点M、N在椭圆上，对应参数分别为，，则直线MN的斜率为________．解析：当t＝时，2即M(1,2)，同理N(，2)．kMN＝＝－2.答案：－25．已知直线l：x－y＋9＝0和椭圆C：(θ为参数)．(1)求椭圆C的两焦点F1，F2的坐标；(2)求以F1，F2为焦点且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．解析：(1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为＋＝1，所以a2＝12，b2＝3，c2＝a2－b2＝9.所以c＝3.故F1(－3,0)，F2(3,0)．(2)因为2a＝|MF1|＋|MF2|，所以只需在直线l：x－y＋9＝0上找到点M使得|MF1|＋|MF2|最小即可．点F1(－3,0)关于直线l的对称点是F1′(－9,6)，所以M为F2F1′与直线l的交点，则|MF1|＋|MF2|＝|MF1′|＋|MF2|＝|F1′F2|＝＝6，故a＝3.又c＝3，b2＝a2－c2＝36.此时椭圆方程为＋＝1.6.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)和定点A(0，b)，B(0，－b)，C是椭圆上的动点，求△ABC的垂心H的轨迹．解析：由椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)知，椭圆的参数方程为(φ为参数)，所以椭圆上的动点C的坐标设为(acosφ，bsinφ)，所以直线AC的斜率为kAC＝，AC边上的垂线的方程为y＋b＝－x，①直线BC的斜率为kBC＝，BC边上的垂线的方程为y－b＝－x，②由方程①②相乘消去φ可得y2－b2＝x2，即x2＋y2＝b2，又点C不能与A、B重合，所以y≠±b，故H点的轨迹方程为x2＋y2＝b2，去掉点(0，b)和点(0，－b)．3
