2.1曲线的参数方程课时过关·能力提升1若点P(3,b)在曲线{x=√t2+1,y=-2t-1上,则b的值为()A.-5B.3C.5或-3D.-5或3解析:由点P在曲线上,得√t2+1=3,所以t=±2.当t=2时,y=b=-5;当t=-2时,y=b=3.答案:D2曲线{x=1+t2,y=4t-3与x轴的交点坐标是()A.(1,4)B.(2516,0)C.(1,-3)D.(±2516,0)解析:把t¿y+34代入x=1+t2,得x=1+(y+3)216,即y2+6y-16x+25=0.令y=0,得x¿2516.故曲线与x轴的交点坐标为(2516,0).答案:B3动点M作匀速直线运动,它在x轴正方向和y轴正方向的分速度分别为3m/s和4m/s,直角坐标系的长度单位是1m,点M的起始位置在点M0(2,1)处,则点M的轨迹的参数方程是()A.{x=3t,y=4t¿≥0)B.{x=2+3t,y=1+4t¿≥0)C.{x=2t,y=t¿≥0)D.{x=3+2t,y=4+t¿≥0)解析:设在时刻t点M的坐标为M(x,y),1则{x=2+3t,y=1+4t¿≥0).答案:B4参数方程{x=2sin2θ,y=tanθ-1tanθ所表示的曲线是()A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线解析:y=tanθ−1tanθ=sinθcosθ−cosθsinθ=sin2θ-cos2θsinθcosθ=−cos2θ12sin2θ.平方得y2¿cos22θ14sin22θ.由sin2θ¿2x,得cos22θ=1−(2x)2.则y2¿1-(2x)214×(2x)2,整理,得x2-y2=4.故曲线为双曲线.答案:D5“由方程{x=f(t),y=g(t)所确定的点P(x,y)都在曲线C上”是“方程{x=f(t),y=g(t)是曲线C的参数方程”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).答案:必要不充分6已知曲线C的参数方程是{x=3t,y=2t2+1.(1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系;(2)已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值.解:(1)把点M1的坐标(0,1)代入{x=3t,y=2t2+1,得{0=3t,1=2t2+1,解得t=0,所以点M1在曲线C上.把点M2的坐标(5,4)代入{x=3t,y=2t2+1,得{5=3t,4=2t2+1,此时无解,所以点M2不在曲线C上.2(2)因为点M3(6,a)在曲线C上,所以{6=3t,a=2t2+1,解得t=2,a=9,所以a的值为9.★7已知点P(x,y)是曲线C:{x=3+cosθ,y=2+sinθ上的动点,求(1)x+y的最值;(2)点P到直线x+y-1=0的距离d的最值.解:因为点P在曲线C上,所以点P(3+cosθ,2+sinθ).(1)x+y=3+cosθ+2+sinθ=5+√2sin(θ+π4).故x+y的最大值为5+√2,最小值为5−√2.(2)d¿|3+cosθ+2+sinθ-1|√2=|4+√2sin(θ+π4)|√2,显然,当sin(θ+π4)=1时,d取最大值1+2√2,当sin(θ+π4)=−1时,d取最小值2√2−1.3
