1.1.2瞬时速度与导数[A基础达标]1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若一质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()A．－3B．3C．6D．－6解析：选D.由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝s′(1)＝lim(－3Δt－6)＝－6.2．函数y＝x3在x＝1处的导数为()A．2B．－2C．3D．－3解析：选C.＝＝＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2，所以lim＝3x2，y′|x＝1＝3.3．一物体的运动满足曲线方程s(t)＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是()A．物体5s内共走过42mB．物体每5s运动42mC．物体从开始运动到第5s运动的平均速度是42m/sD．物体以t＝5s时的瞬时速度运动的话，每经过1s，物体运动的路程为42m解析：选D.由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5s时的瞬时速度．故选D.4．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足lim＝－1，则f′(0)＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：选B.因为f(x)图象过原点，所以f(0)＝0，所以f′(0)＝lim＝lim＝－1.故选B.5．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为()A．米/秒B．米/秒C．8米/秒D．米/秒解析：选B.因为＝1＝＝Δt＋8－.所以lim＝8－＝.6．函数y＝3x2－2在x＝1处的导数为________．解析：f′(1)＝lim＝lim＝6.答案：67．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________．解析：f′(x)＝lim＝lim＝lim＝2ax＋2，所以f′(1)＝2a＋2＝4，所以a＝1.答案：18．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为________m/s.解析：运动方程为s＝at2.因为Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2.所以＝at0＋aΔt，所以v＝lim＝at0.又因为a＝5×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，所以v＝at0＝8×102＝800(m/s)．答案：8009．求函数y＝的导函数．解：因为Δy＝－＝－，所以＝－4·，所以lim＝lim[－4·]＝－，所以y′＝－.10．已知函数y＝f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值．(1)lim；(2)lim.解：(1)原式＝lim＝lim(Δx→0时，－Δx→0)＝－f′(x0)．2(2)原式＝lim＝＝[f′(x0)＋f′(x0)]＝f′(x0)．[B能力提升]11．已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．若车轮开始转动后的第一圈需要1s，则车轮转动开始后第2s时的瞬时速度为()A．πB．2πC．4πD．8π解析：选D.设角度θ关于时间t的函数关系式为θ(t)＝kt2(k≠0)，由已知得2π＝k·12，即k＝2π，故θ(t)＝2πt2.第2s时的瞬时速度即为θ′(2)．由于＝＝2πΔt＋8π，所以θ′(2)＝lim＝lim(2πΔt＋8π)＝8π，即第2s时的瞬时速度为8π.12．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.解析：＝＝7Δt＋14t0，当lim(7Δt＋14t0)＝1时，t0＝.答案：13．已知函数f(x)＝求f′(4)·f′(－1)的值．解：当x＝4时，Δy＝－＋＝－＝＝.所以＝.所以lim＝lim＝＝.所以f′(4)＝.当x＝－1时，＝＝＝Δx－2，由导数的定义，得f′(－1)＝lim(Δx－2)＝－2，所以f′(4)·f′(－1)＝×(－2)＝－.14．(选做题)若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)s＝f(t)＝3求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．解：(1)因为物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3，5]内的平均速度为＝＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．因为物体在t＝0附近位移的平均变化率为＝＝＝3Δt－18，所以物体在t＝0处位移的瞬时变化率为lim＝lim(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度v0＝－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率．因为物体在t＝1附近位移的平均变化率为＝＝＝3Δt－12，所以物体在t＝1处位移的瞬时变化率为lim＝lim(3Δt－12)＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.45
