高二数学双曲线定义、标准方程、几何性质人教版【本讲教育信息】一.教学内容:双曲线定义、标准方程、几何性质[知识点](一)双曲线的定义1.(1)图示:取一拉链,在拉开两边上各选一点,分别固定在F1、F2上,|F1F2|=2c,即|PF1|-|PF2|=2a,得到的图形,我们称为双曲线一支(加绝对值两支)2212.{||||||}分析:即满足PMMFMFa3.定义:平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数c小于|F1F2|的点的轨迹叫双曲线。(1)焦点:F1、F2,焦距:|F1F2|(2)定义重点:①绝对值②小于|F1F2|若去掉①则为一支;去掉②,2a=2c射线,2a>2c无曲线,2a=0是F1F2的中垂线。(二)双曲线的标准方程(1)推导:①建系;②写出集合;③坐标化;④化简()形式或21122222222xaybyaxb图象特征:abcab00222,,[注意]1.位于标准位置,才能有标准方程;212121212.()||||||||||||对若在右支上,则,,反之MMFMFMFMFaMFMF用心爱心专心115号编辑2a3.判断双曲线焦点的位置由函数的正负决定(不比大小),若x2的函数为正,则焦点在x轴上,反之则在y轴上。4.记住a、b、c的关系:椭圆:abc222双曲线:cab222一般地:第二定义:平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ecaeM()1的动点的轨迹叫做双曲线,这个定点是双曲线的焦点,这条定直线叫做双曲线的准线,这个常数e叫做离心率。理解:①第二定义的隐含条件:定点在直线外,否则轨迹是除去交点的两条相交直线。②对于双曲线,相应于焦点,的准线是xaybabFc22221000()()xacFcxacyaxb22222201;相应于焦点,的准线是,同理,的准线是()yac±2③双曲线的离心率的定义是:双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。(几何意义)2.焦半径及焦半径公式定义:双曲线上一点到焦点的距离叫做双曲线上这点的焦半径。对于双曲线,,设双曲线上一点为,,则由xaybabPxy2222100()()双曲线的第二定义得:左焦半径,右焦半径为左右rexarexa||()00(4)等轴双曲线:在方程,若,这时其实轴长与虚轴均为,称为等轴双xaybaba222212曲线。对于等轴双曲线:①渐近线为±渐近线互相垂直;②离心率yx()ecaaba222∴对于双曲线:渐近线方程±渐近线互相垂直abeyx2渐近线方程斜率为±等轴双曲线1用心爱心专心115号编辑渐近线:(定义:若曲线上的点到某一直线的距离为d,当点趋向于无穷远时,d能趋近于0,则这条直线称为该曲线的渐近线)双曲线的渐近线为:xaybxayb2222222210ybax±【典型例题】例1.一炮弹在某处爆炸,在F1(-5000,0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000,0)处晚秒,已知坐标轴的单位长度为米,声速为米秒,爆炸点应在什300171340/么样的曲线上,并求爆炸点所在的曲线方程。解:由声速为米秒可知、两处与爆炸点的距离差为×340/FF12340300176000(米),因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上。因为爆炸点离F1处比F2处更远,所以爆炸点应在靠近F2处的一支上。设爆炸点P的坐标为(x,y),则||||PFPFaa126000260003000,即,而,∴cb50005000300040002222 ,∴||||PFPFx12600000∴所求曲线方程为xyx22223000400010()小结:在处听到爆炸声比处晚秒,相当于爆炸点离的距离比FFFF121230017远6000米,这是解应用题的第一关——审题关;根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线,这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题);借助双曲线的标用心爱心专心115号编辑准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问题)。例2.求一条渐近线方程是3x+4y=0,一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程,并求双曲线的离心率。解:双曲线的渐近线方程可写成,xy430因此双曲线的方程可写成≠xy221690() 焦点在轴上,∴x0把双曲线的方程写成xy221691 ,∴,∴c4169161625故所求双曲线的标准方程为xy2225625144251 ,即aa225625165∴双曲线的离心率eca...