【高考新坐标】2016届高考数学总复习第二章第12节导数与函数的极值、最值课后作业[A级基础达标练]一、选择题1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于()A．11或18B．11C．18D．17或18[解析] 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，则解得或又当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.[答案]C2．(2015·德州调研)已知函数f(x)＝x3＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为4，则函数g(x)＝sin2x＋bcos2x的最大值是()A．1B．2C.D.[解析] f′(x)＝3x2＋b，∴f′(1)＝3＋b＝4，∴b＝1.∴g(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin.∴g(x)的最大值为2.[答案]B3．已知函数f(x)＝，则下列选项正确的是()A．函数f(x)有极小值f(－2)＝－，极大值f(1)＝1B．函数f(x)有极大值f(－2)＝－，极小值f(1)＝1C．函数f(x)有极小值f(－2)＝－，无极大值D．函数f(x)有极大值f(1)＝1，无极小值[解析]由f′(x)＝′＝＝0，得x＝－2或x＝1，当x＜－2时，f′(x)＜0；当－2＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0，故x＝－2是函数f(x)的极小值点，且f(－2)＝－，x＝1是函数f(x)的极大值点，且f(1)＝1.[答案]A4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()[解析] f(x)在x＝－2处取得极小值，∴当x＜－2时，f(x)单调递减，即f′(x)＜0；当x＞－2时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0.∴当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.结合选项中图象知C正确．[答案]C5．(2015·济南质检)已知a≤＋lnx对任意x∈恒成立，则a的最大值为()A．0B．1C．2D．3[解析]设f(x)＝＋lnx＝＋lnx－1，则f′(x)＝－＋＝.当x∈时，f′(x)<0；当x∈(1，2]时，f′(x)>0.故f(x)在区间上是减函数，在(1，2]上是增函数．∴f(x)min＝f(1)＝0.故a≤0，即a的最大值为0.[答案]A二、填空题6．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的最小值是________．[解析]f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx.当x∈时，f′(x)>0，f(x)在上是增函数，∴f(x)min＝f(0)＝e0(0＋1)＝.[答案]7．函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝________．[解析]由题意知，f(x)＝x3－2mx2＋m2x，则f′(x)＝3x2－4mx＋m2，由f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，当13时，f′(x)>0，此时函数f(x)在x＝1处取得极大值，不合题意，所以m＝1.[答案]18．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是________．[解析]由题意知，f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－，又f(1)＝，f＝，f(－1)＝，f(2)＝7，故f(x)min＝，∴a<.[答案]三、解答题9．已知f(x)＝lnx，g(x)＝x3＋x2＋mx＋n，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切于点(1，0)．(1)求直线l的方程及g(x)的解析式；(2)若h(x)＝f(x)－g′(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的极大值．[解](1)直线l是函数f(x)＝lnx在点(1，0)处的切线，故其斜率k＝f′(1)＝1，∴直线l的方程为y＝x－1.又因为直线l与g(x)的图象相切，且切于点(1，0)，∴g(x)＝x3＋x2＋mx＋n在点(1，0)的导函数值为1.⇒∴g(x)＝x3＋x2－x＋.(2) h(x)＝f(x)－g′(x)＝lnx－x2－x＋1(x>0)，∴h′(x)＝－2x－1＝＝－.令h′(x)＝0，得x＝或x＝－1(舍去)．当00，h(x)单调递增；当x>时，h′(x)<0，h(x)单调递减．因此，当x＝时，h(x)取得极大值，∴[h(x)]极大＝h＝ln＋.10．(2015·青岛模拟)已知f(x)＝aln(x－1)，g(x)＝x2＋bx，F(x)＝f(x＋1)－g(x)，其中a，b∈R.(1)若y＝f(x)与y＝g(x)的图象在交点(2，k)处的切线互相垂直，求a，b的值；(2)当b＝2－a时，求F(x)的最大值．[解](1)易知f′(x)＝，g′(x)＝2x＋b，又y＝f(x)与y＝g(x)在交点(2，k)处的切线互相垂直，∴解之得a＝－且b＝－2.(2)F(x)＝alnx－(x2＋bx)＝alnx－x2＋(a－2)x(x>0)．∴F′(x)＝－2x＋a－2＝－(x>0)．①当...
