第2讲基本初等函数、函数与方程限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2019·云南检测)设a=60.7,b=log70.6,c=log0.60.7,则a,b,c的大小关系为()A.c>b>aB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b解析:D[因为a=60.7>1,b=log70.6<0,0<c=log0.60.7<1,所以a>c>b.]2.(北京卷)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据:lg3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093解析:D[设=x=,两边取对数,lgx=lg=lg3361-lg1080=361×lg3-80=93.28,所以x=1093.28,即最接近1093,故选D.]3.(2020·安徽皖中名校联考)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)B.(-∞,a)和(a,b)C.(b,c)和(c,+∞)D.(-∞,a)和(c,+∞)解析:A[由题意可得f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,则由零点存在性定理可知,选A.]4.(2019·铁人中学期中)函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当-1≤x≤1时,f(x)=|x|.若y=f(x)的图象与g(x)=logax(a>0且a≠1)的图象有且仅有四个交点,则a的取值集合为()A.{4,5}B.{4,6}C.{5}D.{6}解析:C[函数f(x+2)=f(x),则函数f(x)是周期为2的周期函数,画出函数f(x)的图象(图略),数形结合可知,当g(x)的图象过点(5,1)时,f(x)的图象与g(x)=logax的图象仅有四个交点,则g(5)=loga5=1,得a=5.故选C.]5.(2020·广西三校)函数f(x)=x2lg的图象()A.关于x轴对称B.关于原点对称C.关于直线y=x对称D.关于y轴对称解析:B[因为f(x)=x2lg,所以其定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),所以f(-x)=x2lg=-x2lg=-f(x),所以函数为奇函数,所以函数的图象关于原点对称.]6.某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件,根据市场预测,销售价为每件100元时可全部售完,定价每次提高1元时销售量就减少5件,若要获得最大利润,销售价应定为每件()A.100元B.110元C.150元D.190元解析:D[设售价提高x元,利润为y元,则依题意得y=(1000-5x)×(20+x)=-5x2+900x+20000=-5(x-90)2+60500.故当x=90时,ymax=60500,此时售价为每件190元.]7.(2020·深圳模拟)已知函数f(x)=lnx-2[x]+3,其中[x]表示不大于x的最大整数(如[1.6]=1,[-2.1]=-3),则函数f(x)的零点个数是()A.1B.2C.3D.4解析:B[设g(x)=lnx,h(x)=2[x]-3,当0<x<1时,h(x)=-3,作出图象,两个函数图象有一个交点,即f(x)有一个零点;当2≤x<3时,h(x)=1,ln2≤g(x)<ln3.此时两函数图象有一个交点,即f(x)有一个零点,当x≥3以后,两函数图象无交点,综上,共有两个零点.]8.(2020·贵阳模拟)某地方政府为鼓励全民创业,拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励,奖励方案遵循以下原则:奖金y(单位:万元)随年产值x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于7万元,同时奖金不超过年产值的15%.若采用函数f(x)=作为奖励函数模型,则最小的正整数a的值为()A.310B.315C.320D.325解析:B[对于函数模型f(x)==15-,a为正整数,函数在[50,500]上单调递增,f(x)min=f(50)≥7,得a≤344,要使f(x)≤0.15x对x∈[50,500]恒成立,即a≥-0.15x2+13.8x对x∈[50,500]恒成立,所以a≥315.综上,最小的正整数a的值为315.]9.(山东卷)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,]∪[2,+∞)D.(0,]∪[3,+∞)解析:B[当0<m≤1时,≥1,y=(mx-1)2单调递减,且y=(mx-1)2∈[(m-1)2,1],y=+m单调递增,且y=+m∈[m,1+m],此时有且仅有一个交点;当m>1时,0<<1,y=(mx-1)2在上单调递增,所以要有且仅有一个交点,需(m-1)2≥1+m⇒m≥3,选B.]10.(2020·长春模拟)已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.[-1,1)B.[0,2]C.[-2,2)D.[-1,2)解析:D[ f(x)=∴g(x)=f(x)-2x=而方程-x+2=0的解为2,方程x2+3x+2...