第9讲二次函数与幂函数夯实基础【p22】【学习目标】1．熟练掌握二次函数的概念、图象、性质及其与一元二次方程、一元二次不等式的联系．2．了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象了解它们的变化情况．【基础检测】1．函数y＝－＋2的顶点坐标是()A．(1，2)B．(1，－2)C．(－1，2)D．(－1，－2)【解析】 y＝－＋2＝－＋2，∴顶点坐标是(－1，2)．【答案】C2．幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，4)，则该幂函数的解析式为()A．y＝2xB．y＝x2C．y＝x＋2D．y＝2x【解析】设f(x)＝xα， 其图象过点(2，4)，∴2α＝4，α＝2，即f(x)＝x2.故选B.【答案】B3．已知函数f＝x2－2ax－3在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围为()A.B.C.D.【解析】函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知，函数在[a，＋∞)上是单调增函数，因此要使函数f(x)在区间[1，2]上是单调增函数，只需a≤1，从而a∈(－∞，1]．故选B.【答案】B4．若幂函数f＝xm－1在区间上是增函数，则实数m的值为________．【解析】由于函数为幂函数，故m2－m－1＝1，解得m＝2，m＝－1，当m＝－1时，函数在为减函数，故m＝2.【答案】2【知识要点】1．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR__{x|x≥0}____{x|x≠0}__值域R__{y|y≥0}__R__{y|y≥0}____{y|y≠0}__奇偶性__奇____偶____奇____非奇非偶____奇__单调性__增____(－∞，0)__增____增____(－∞，0)减，(0，＋∞)增__和(0，＋∞)减__公共点(1，1)2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝__ax2＋bx＋c(a≠0)__；(2)顶点式：f(x)＝__a(x－m)2＋n(a≠0)__；(3)零点式：f(x)＝__a(x－x1)(x－x2)(a≠0)__．3．二次函数的图象和性质f(x)＝ax2＋bx＋ca>0a<0图象定义域x∈R值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x＝－；②顶点：典例剖析【p23】考点1幂函数的图象与性质(1)函数y＝的图象是()【解析】函数y＝可化为y＝x3，当x＝时，求得y＝<，选项B，D不合题意，可排除选项B，D；当x＝2时，求得y＝8>2，选项A不合题意，可排除选项A，故选C.【答案】C(2)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)．若f(m)＝3，则实数m的值为()A.B．±C．±9D．9【解析】依题意有2＝4α，得α＝，所以f(x)＝x，当f(m)＝m＝3时，m＝9.【答案】D(3)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，且f(a＋1)10－2a>0，解不等式得实数a的取值范围是.【答案】D(4)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．【解析】 y＝x(x>0)为增函数，∴a>c. y＝(x∈R)为减函数，∴c>b.∴a>c>b.【答案】a>c>b【小结】(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.考点2二次函数的解析式的求法已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解析】法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n. f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝＝.∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴y＝f(x)＝a＋8. f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即＝8.解得a＝－4或a＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.【小结】求二次函数解析式的方法考点3二次函数的图象与性质已知函数f＝x2－2ax＋5.(1)若f的定义域和...
