２８．１锐角三角函数学习目标导航１．认识正弦、余弦、正切这三个锐角三角函数的概念,并能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数．２．能记忆特殊角的三角函数值,也能根据特殊的三角函数值求出特殊锐角的度数．３．会用计算器求锐角三角函数值或根据锐角三角函数值求锐角,体会锐角和锐角三角函数值之间的对应关系．４．会应用三角函数解决直角三角形中的边角问题．教材知识详析要点１锐角三角函数的概念(１)正弦、余弦和正切的定义在△ABC中,∠C为直角,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA;锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA;锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA．于得我们得到锐角A的三个锐角三角函数,即sinA＝∠A的对边斜边,cosA＝∠A的邻边斜边,tanA＝∠A的对边∠A的邻边．(２)三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．归纳整理:(１)正弦、余弦和正切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值．角的度数确定时,其比值不变,角的度数变化时,比值也随之变化．(２)弄清“对边”“邻边”“斜边”的意义是理解定义的基础．如:在Rt△ABC中,∠C＝９０°,对∠A来说,BC是对边、AC是邻边;对∠B来说,BC是邻边、AC是对边．(３)sinA不能看成是sin与A相乘,sinA是一个整体数学符号,表示“∠A的正弦函数”．离开角A的“sin”没有什么意义,其他两个cosA,tanA也是这样,所以写时不能把“sin”与“A”分开．三角函数符号后面可以跟度数,比如sin２０°,cos３６°等．书写习惯上省略∠A的角的记号“∠”,但对三个大写字母表示的角(如∠AEF),其正切应写成“tan∠AEF”,不能写成“tanAEF”,另外(sinA)２可以写成“sin２A”．(４)正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给定的,要避免在应用时对任意的三角形随便套用定义．(５)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而改变．例１如图２８．１Ｇ１所示,在Rt△ABC中,已知AC＝４０cm,BC＝９cm,求sinA和sinB的值．图２８．１Ｇ１精析:已知在Rt△ABC中的两条直角边,所以先求出斜边的长,然后根据定义求出．解答:在Rt△ABC中,AB＝AC２＋BC２＝９２＋４０２＝４１,因此sinA＝BCAB＝９４１,sinB＝ACAB＝４０４１．已知直角三角形的两条边的长求某个锐角的三角函数值时,应先根据勾股定理求出第三条边的长,然后再根据锐角三角函数的定义求出函数值．要点２特殊角的三角函数值(重点)α的度数三角函数３０°４５°６０°sinα１２１２æèçöø÷２２３２cosα３２２２１２１２æèçöø÷tanα３３１９３æèçöø÷３２７３æèçöø÷关键提醒:特殊角的三角函数值的两种巧记的方法:图２８．１Ｇ２(１)数形结合法:可画两个特殊的直角三角形,一个两锐角分别为３０°,６０°,如图２８．１Ｇ２(１);另一个两锐角都是４５°,如图２８．１Ｇ２(２)．图２８．１Ｇ２(１)中,设３０°角所对的直角边长为１,则斜边长为２,另一直角边长为３．图２８．１Ｇ２(２)中,设直角边长为１,则斜边长为２．根据各三角函数的定义,易得出各特殊角的三角函数值．这种方法形象、直观、简单、易记,同时巩固了三角函数的定义．(２)口诀记忆法:口诀是:“一、二、三,三、二、一,三、九、二十七,弦是二,切是三,分子根号不能删．”前三句中的１,２,３;３,２,１;３,９,２７,分别是３０°,４５°,６０°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为２,正切的分母为３．最后一句,讲的是各函数值中分子都加上根号,不能丢掉．如:tan６０°＝２７３＝３,tan４５°＝９３＝１．这种方法有趣、简单、易记．例２求sin２４５°＋cos３０°tan６０°sin６０°＋cos６０°tan３０°的值．精析:掌握特殊角的三角函数的值,能熟练应用这些特殊值进行计算．解答:原式＝１２＋３２３３２＋１２３３＝３．特殊角的三角函数值所示解决此问题的关键,因此要注意牢记或会用两个基本三角形推导出特殊角的三角函数值．例３在锐角△ABC中,若sinB＝３２,cosA＝２２,求∠A、∠B、∠C的度数．精析:直接根据特殊的三角函数值求出∠A、∠B的度数,然后根据三角形...
