压轴题(八)12．(2019·湘赣十四校联考二)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝2，E为AD的中点，P为正方形A1B1C1D1内的一个动点(含边界)，且|PE|≤，则|PA1＋PB1＋PC1|的最小值为()A．－1B．－3C．D．＋1答案B解析设A1D1的中点为F，连接EF，PF，则在△EFP中，EF⊥FP，EP2＝EF2＋FP2，∴FP2≤1，∴点P的轨迹是以F为圆心，以1为半径的半圆面(位于正方形A1B1C1D1内)，以A1为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则A1(0,0)，B1(2,0)，C1(2,2)，F(0，1)，设点P的坐标为(x，y)，则PA1＝(－x，－y)，PB1＝(2－x，－y)，PC1＝(2－x，2－y)，PA1＋PB1＋PC1＝(4－3x,2－3y)．|PA1＋PB1＋PC1|＝＝3×.设Q点的坐标为，则|PA1＋PB1＋PC1|＝3|PQ|≥3(|QF|－1)＝－3.故选B.16．已知椭圆的焦点为F1(－c，0)，F2(c,0)，其中c＝2∫0cosxdx，直线l与椭圆相切于第一象限的点P，且与x，y轴分别交于点A，B，设O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，∠F1PF2＝60°，则此椭圆的方程为________．答案＋＝1解析由题意，得在P(x0，y0)处的切线方程为＋＝1.所以A，B，S△AOB＝×，因为＋＝1≥，所以≥.所以S△AOB≥ab.当且仅当＝＝时，△AOB的面积最小．设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由余弦定理，得4c2＝r＋r－r1r2＝(r1＋r2)2－3r1r2＝4a2－3r1r2，所以r1r2＝b2，所以S△PF1F2＝r1r2sin60°＝b2，所以·2c·y0＝b2，y0＝＝b，所以c＝b.又因为c＝2cosxdx＝2sinx＝2＝.所以b＝3，a＝.所以此椭圆的方程为＋＝1.20．(2019·广东四校联考)某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种特产水果只能在9月份销售，且该种特产水果当天食用口感最好，隔天食用口感较差．某超市每年9月份都销售该种特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每千克8元，销售价每千克12元，当天未卖出的水果全部转卖给水果罐头厂，但每千克只能卖到5元．根据往年销售经验，每天需求量与当地最高气温(单位：℃)有一定关系．若最高气温不低于30，则需求量为5000千克；若最高气温位于[25,30)，则需求量为3500千克；若最高气温低于25，则需求量为2000千克．为了制订今年9月份订购计划，统计了前三年9月份的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温(℃)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数414362115以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求今年9月份这种特产水果一天需求量X(单位：千克)的分布列和数学期望；(2)设9月份一天销售这种特产水果的利润为Y(单位：元)，当9月份这种特产水果一天的进货量n(单位：千克)为多少时，Y的数学期望达到最大值，最大值为多少？解(1)今年9月份这种特产水果一天的需求量X的可能取值为2000,3500,5000.P(X＝2000)＝＝，P(X＝3500)＝＝，P(X＝5000)＝＝.于是X的分布列为X200035005000PX的数学期望E(X)＝2000×＋3500×＋5000×＝3800.(2)由题意，知这种特产水果一天的需求量至多为5000千克，至少为2000千克，因此只需要考虑2000≤n≤5000.当3500≤n≤5000时，若最高气温不低于30，则Y＝4n；若最高气温位于[25,30)，则Y＝3500×4－(n－3500)×3＝24500－3n；若最高气温低于25，则Y＝2000×4－(n－2000)×3＝14000－3n.此时E(Y)＝×4n＋×(24500－3n)＋×(14000－3n)＝12600－n≤11900.当2000≤n<3500时，若最高气温不低于25，则Y＝4n；若最高气温低于25，则Y＝2000×4－(n－2000)×3＝14000－3n.此时E(Y)＝×4n＋×(14000－3n)＝2800＋n<11900.所以n＝3500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为11900.21．设函数f(x)＝ln(x＋a)－x，g(x)＝xex－2x－1.(1)若直线l：y＝－x＋ln3－是函数f(x)的图象的一条切线，求实数a的值；(2)当a＝0时，①关于x的方程f(x)＝x2－x＋m在区间[1,3]上有解，求m的取值范围；②证明：当x>0时，g(x)≥f(x)．解(1) f(x)＝ln(x＋a)－x，∴f′(x)＝－1，设切点为P(x0，y0)，则－1＝－，∴x0＋a＝3，又ln(x0＋a)－x0＝－x0＋ln3－，∴ln3－x0＝－x0＋ln3－，∴x0＝2，∴a＝1.(2)当a＝0时，①方程f(x)＝x2－x＋m，即lnx－x2＋x＝m.令h(x)＝lnx－x2＋x(x>0)，则h′(x)＝－2x＋＝－.令h′(x)＝0，则x1＝，x2＝－(舍去)；∴当x∈[1,3]时，h′(x)，h(x)随x的变化情况如下表： h...
