芜湖市２０１８—２０１９学年度第二学期高三模拟考试数学（理科）试题一、选择题（本题共１２小题，每小题５分，共６０分）题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＣＤＡＣＣＤＤＡＢＣＡＢ二、填空题（本题共４小题，每小题５分，共２０分）１３６０１４５１５１１１６１９π三、解答题（本大题共６小题，共７０分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）１７（本小题满分１２分）（１）由题设及Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，得ｓｉｎＢ＝４ｓｉｎ２Ｂ２，故ｓｉｎＢ＝２（１－ｃｏｓＢ）．上式两边平方，整理得５ｃｏｓ２Ｂ－８ｃｏｓＢ＋３＝０，解得ｃｏｓＢ＝１（舍去），ｃｏｓＢ＝３５．６分……………………………………………………（２）由ｃｏｓＢ＝３５得ｓｉｎＢ＝４５，又Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａｃｓｉｎＢ＝２．则ａｃ＝５．由余弦定理，ｂ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＢ＝（ａ＋ｃ）２－２ａｃ（１＋ｃｏｓＢ）＝（ａ＋ｃ）２－１６＝４．所以ａ＋ｃ槡＝２５．１２分……………………………………………………………………１８（本小题满分１２分）（１）由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下：分值区间［４０，５０）［５０，６０）［６０，７０）［７０，８０）［８０，９０）［９０，１００］频数５１５４０７５４５２０∴ｘ—＝（４５×５＋５５×１５＋６５×４０＋７５×７５＋８５×４５＋９５×２０）×１２００＝７５，ｓ２＝（４５－７５）２×５２００＋（５５－７５）２×１５２００＋（６５－７５）２×４０２００＋（８５－７５）２×４５２００＋（９５－７５）２×２０２００＝１３５．４分……………………………………………………………（２）①由（１）知Ｘ服从正态分布Ｎ（７５，１３５），且σ≈１１６，∴Ｐ（６３４＜Ｘ＜９８２）＝１２×０９５５＋１２×０６８３＝０８１９．８分……………………②依题意，ξ服从二项分布，即ξ～Ｂ（１０４，０８１９），则Ｅξ＝ｎｐ＝８１９０．１２分…………）页４共（页１第案答考参）理（学数级年三高１９（本小题满分１２分）（１）方法一：当θ＝π２时，建立如图所示的空间直角坐标系，则有Ａ（０，－１，０），Ｂ（０，１，０），Ｐ（－１，０，１），Ｃ１（－１，０，２），Ｂ１（－１，０，０），Ｄ１（１，０，２）ＡＢ→＝（０，２，０），ＡＰ→＝（－１，１，１）．设平面ＡＢＰ的法向量为ｎ→＝（ｘ，ｙ，ｚ），则２ｙ＝０－ｘ＋ｙ＋ｚ{＝０，可取ｘ＝１，得ｎ→＝（１，０，１），Ｄ１Ｂ１→＝（－２，０，－２），∴Ｄ１Ｂ１→∥ｎ→．所以直线Ｄ１Ｂ１⊥平面ＡＰＢ．６分…………………………………………………………方法二：在正方形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＯＰ∥Ａ１Ｃ１，Ｄ１Ｂ１⊥Ａ１Ｃ１，∴ＯＰ⊥Ｂ１Ｄ１，ＡＢ⊥ＯＯ１ＡＢ⊥Ａ１Ｂ１ＯＯ１∩Ａ１Ｂ１＝}ＯＡＢ⊥平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，又Ｂ１Ｄ１平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１所以ＡＢ⊥Ｂ１Ｄ１，又ＯＰ⊥Ｂ１Ｄ１，ＡＢ∩ＯＰ＝Ｏ，ＡＢ，ＯＰ平面ＡＰＢ所以直线Ｄ１Ｂ１⊥平面ＡＰＢ６分…………………………………………………………（２）当θ＝π６时，以ＡＢ所在直线为ｙ轴，过点Ｏ与ＡＢ垂直的直线为ｘ轴，ＯＯ１所在的直线为ｚ轴建立空间直角坐标系，可得Ｐ（－１２，槡３２，１３），所以ＡＰ→＝（－１２，槡３２＋１，１３），设平面ＡＢＰ的法向量为ｍ→＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），则２ｙ１＝０－１２ｘ１＋ｙ１（槡３２＋１）＋１３ｚ１{＝０，可取ｘ１＝２，得ｍ→＝（２，０，３），又平面ＡＢＤ的一个法向量为ｎ→＝（１，０，０），则｜ｃｏｓ＜ｍ→，ｎ→＞｜＝槡２１３１３所以二面角Ｄ－ＡＢ－Ｐ的余弦值为槡２１３１３１２分…………………………………………２０（本小题满分１２分）（１）设Ｂ（ｘ１，ｙ１），Ｃ（ｘ２，ｙ２），因点Ｂ在椭圆上，所以ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１，故ｙ２１＝ｂ２ａ２（ａ２－ｘ２１）．又Ａ１（－ａ，０），Ａ２（ａ，０），所以ｋＢＡ１·ｋＢＡ２＝ｙ１ｘ１＋ａ·ｙ１ｘ１－ａ＝－ｂ２ａ２，即ｂ２ａ２＝３４，又ａ＝２...
