傅里叶变换和拉普拉斯变换VIP免费

一傅里叶变换在应用上的局限性在第三章中，已经介绍了一个时间函数tf满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即dtetfjFtj(正变换)(5.1)dejFtftj21(反变换)(5.2)但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号tU，斜变信号ttU，单边正弦信号ttUsin等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。还有一些信号，例如单边增长的指数信号tUeat0a等，则根本就不存在傅里叶变换。另外，在求傅里叶反变换时，需要求从到区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。实际上，信号tf总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号tf接入系统的时刻作为0t的时刻(称为起始时刻)，那么，在t＜0的时间内即有tf=0。我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这样，式(5-1)即可改写为dtetfjFtj0(5-3)式(5-3)中的积分下限取为0，是考虑到在0t的时刻tf中有可能包含有冲激函数t。但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是)，不过此时要在公式后面标以t＞0，意即只有在t＞0时tf才有定义，即dejFtftj21t＞0(5-4a)或用单位阶跃函数tU加以限制而写成下式，即tUdejFtftj21(5-4b)二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换当函数tf不满足绝对可积条件时，可采取给tf乘以因子te（为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数tetf。今若能根据函数tf的具体性质，恰当地选取的值，从而使当t时，函数0tetf，即满足条件0limttetf则函数tetf即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子te起着使函数tf收敛的作用，故称te为收敛因子。设函数tetf满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过恰当地选取σ的值来达到)，则根据式(5-3)有dtetfdteetfjFtjtjt00在上式中，j是以j的形式出现的。令js，s为一复数变量，称为复频率。的单位为s1，的单位为srad/。这样，上式即变为dtetfjFst0由于上式中的积分变量为t，故积分结果必为复变量s的函数，故应将jF改写为sF，即dtetfsFst0(5-5)复变量函数sF称为时间函数tf的单边拉普拉斯变换。sF称为tf的像函数，tf称为sF的原函数。一般记为tfLsF符号1L为一算子，表示对括号内的时间函数tf进行拉普拉斯变换。利用式(5-4)可推导出求sF反变换的公式，即desFetftjt21对上式等号两边同乘以te，并考虑到te不是的函数而可置于积分号内。于是得desFdesFdeesFtfsttjtjt212121(5-6)由于式(5-6)中被积函数是sF，而积分变量却是实变量。所以欲进行积分，必须进行变量代换。因js故jddds(因为任意实常数)故dsjd1且当时，js；当时，js。将以上这些关系代入式(5-6)即得dsesFjtfstjj210t(5-7a)写成tUdsesFjtfstjj21(5-7b)式(5-7b)称为拉普拉斯反变换，可从已知的像函数sF求与之对应的原函数tf。一般记为sFLtf1符号1L也为一算子，表示对括号内的像函数sF进行拉普拉斯反变换。式(5-5)与式(5-7)构成了拉普拉斯变换对...