傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用VIP免费

1.前言1.1背景利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。傅里叶变换能够分析信号的成分，可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。（拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理论》之中。即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时也是一位电气工程师的OliverHeaviside奥利弗·亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。1.2预备知识定理1.2.1（傅里叶积分定理）若在（-∞，+∞）上，函数f(t)满足一下条件：（1）在任意一个有限闭区间上面f(t)满足狄利克雷条件；（2）∫−∞+∞|f(t)|dt<+∞，即f(t)在（-∞，+∞）上绝对可积；则f(t)的傅里叶积分公式收敛，在它的连续点t处112π∫−∞+∞(∫−∞+∞f(τ)e−iωτdτ)eiωτdω=f(t)在它的间断点t处12π∫−∞+∞(∫−∞+∞f(τ)e−iωτdτ)eiωτdω=f(t+0)+f(t−0)2定义1.2.1（傅里叶变换）设函数f(t)满足定理1.2.1中的条件，则称∫−∞+∞e−iωtf(t)dt为f(t)的傅里叶变换，记作F(ω)＝∫−∞+∞e−iωtf(t)dt。定义1.2.2（傅里叶级数）设函数f(t)的周期为T，则它的傅里叶级数为：fT(t)=a02+∑n=1+∞(ancosωt+bnsinωt)上式中，ω=2πTa0=∫−T2T2fT(t)dtan=2T+∫−T2T2fT(t)cosnωtdt(n=1,2,3,⋯)bn=2T+∫−T2T2fT(t)sinnωtdt(n=1,2,3,⋯)定义1.2.3（傅里叶逆变换）f(t)=12π∫−∞+∞e−iωtF(ω)dω2定义1.2.4（拉普拉斯变换）若函数f(t)满足∫0+∞e−stf(t)dt积分收敛，那么该积分记作L(s)=L[f(t)]=∫0+∞e−stf(t)dt式中s为复数，e−st为积分核，上式称为拉普拉斯变换.定义1.2.5（拉普拉斯逆变换）f(t)称为F(s)的拉普拉斯逆变换f(t)＝L-1[f(t)]定义1.2.6（卷积）假如ƒ1(t)和ƒ2(t)是（-∞，+∞）上面有定义的函数，则∫−∞+∞ƒ1(τ)ƒ2(t-τ)dτ称为ƒ1(t)和ƒ2(t)的卷积，记为ƒ1(t)*ƒ2(t)ƒ1(t)*ƒ2(t)＝∫−∞+∞ƒ1(τ)ƒ2(t-τ)dτ2.傅里叶变换的性质及应用2.1傅里叶变换的性质性质2.1.1（线性性质）设α，β为常数，F1(ω)=F[ƒ1(t)]，F2(ω)=F[ƒ2(t)]则：F[αF1(t)+βF2(t)]=αF1(ω)+βF2(ω)F−1[αF1(ω)+βF2(ω)]=αF1(t)+βF2(t)性质2.1.2（位移性质）3设F[f(t)]＝F(ω)，则F[f(t±t0)]=e±jωt0F[f(t)]F−1[f(ω∓ω0)]=e±jω0tF[f(t)]性质2.1.3（微分性质）设F(ω)＝F[f(t)]，f(t)在(﹣∞,﹢∞)连续或可去间断点仅有有限个，且lim¿t∨→+∞f(t)=0，则：F[f'(t)]=iωF(ω)。F[fn(t)]=(iω)nF(ω)。证明由傅里叶变换的定义有F[f'(t)]=∫−∞+∞f'(t)e−iωtdt=∫−∞+∞e−iωtdf(t)=f(t)e−iωt∨+∞−∞+iω∫−∞+∞f(t)e−iωtdt=iωF(ω)性质2.1.4（积分性质）设F[f(t)]=F(ω)，若，limt→+∞∫−∞tf(t)dt=0则：F[∫−∞tf(t)dt]=F(ω)iω证明因为[∫−∞tf(t)dt]'=f(t)，故由微分性质得4F(ω)=(jω)F[∫−∞tf(t)dt]，即F[∫−∞tf(t)dt]=F(ω)iω定理2.1.1（卷积定理）如果F1(ω)=F[f1(t)]，F2(ω)=F[f2(t)]，则有：F[f1(t)∗f2(t)]=F1(ω)F2(ω)F−1[F1(ω)∗F2(ω)]=2πf1(t)f2(t)证明F[f1(t)∗f2(t)]=∫−∞+∞[f1(t)∗f2(t)]e−iωtdt=∫−∞+∞[∫−∞+∞f1(τ)f2(...