曲边梯形面积与定积分VIP免费

1.4.1曲边梯形面积与定积分11()()nnniiiibaSfxxfxn小矩形面积和如果当n+∞时，Sn就无限接近于某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作baf(x)dx，即f(x)dxf(i)xi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:分割---以直代曲----求和------逼近.一般地，如果f(x)在区间[a,b]上连续，用分点将区间等分成n个小区间，在每个小区间上取一点作和式当时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。我们记作bxxxxxxannii1110iixx,1),,3,2,1(nii)()(11ininiifnabxfnbadxxf)(二、定积分的定义定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)dx—叫做被积表达式，f(x)——叫做被积函数,x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。()baSfxdx被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限()baSfxdxSbaf(x)dx；按定积分的定义，有(1)由连续曲线yf(x)(f(x)0)，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为();baSvtdt(3)设物体在变力FF(r)的方向上有位移r，则F在位移区间[a,b]内所做的功W为().baWFrdr112001()3Sfxdxxdx根据定积分的定义右边图形的面积为1xyOf(x)=x213Sbaf(x)dxbaf(t)dtbaf(u)du。说明：(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.三.定积分的几何意义：Oxyabyf(x)baf(x)dxf(x)dxf(x)dx。xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyOdxxfSba)]([，dxxfba)(．abyf(x)yf(x)dxxfSba)]([baf(x)dxf(x)dxf(x)dx。S上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：积分baf(x)dx在几何上表示baf(x)dxf(x)dxf(x)dx。S定积分的几何意义：在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负).50(24)xdx计算定积分-465OxyAB50(24)945xdx例1用定积分表示下列阴影部分面积。（1）（2）解（1）由图可知（2）由图可知212dxxS1121dxxS0122xyxy11-10yx122yx102的值：计算例xdx解：由定积分几何意义可知112110xdx10xyy=x21变式练习：计算的值。解：由几何意义可得222142222dxx2224dxx22-20yx422yx例：计算下列定积分.21120310213001(1)(1);(2)(1);2(3);(4)(1);(5)sin;(6).xdxxdxxdxxdxxdxxdx第（1）-（5）小题可用定积分的几何意义求解。第（6）小题现在只能用定积分的定义求，很繁，等下节学了牛顿-莱布尼兹公式再做。四.定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[bababadx)x(gdx)x(f性质2.badx)x(kfbadx)x(fk四.定积分的基本性质定积分关于积分区间具有可加性bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOxyabyf(x)Ｃabyf(x)Oxy()ygx探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy1()baSfxdx()ygx12()()bbaaSSSfxdxgxdx2()baSgxdx练习计算解由定积分的性质可知102)32(dxxx102)32(dxxx1010232dxxxdx1010232dxxxdx0313212例3分析：如图所示成的平面图形的面积。轴围和直线计算由曲线xxyxy2,221102)2(dxxdxxS012yx2xy2xy65112131例4求下图阴影部分的面积。解：由定积分几何意义知10210dxxxdxS3121610x12xyyxy变式练习计算解由函数的性质与定积分的几何意义可知102)(dxxx012xyxyxyx316122102dxxx102)(dxxxy四、能力提升解如图所示，阴影部分面积图形的面积。轴围成的平面和直线计算由曲线xxyxy2,2110)2(dxxdxxS012xyxyyx2xy1021)2(61dxxxdx6711212161课外探究用定积分表示下列阴影部分并求出它们的面积。xysin0π2πx-11