点差法习题(有答案)VIP免费

点差法习题【学习目标】圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。使用说明及学法指导】1、通过证明定理，熟悉“点差法”的运用；2、记住点差法推导出的公式，并熟练应用；若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一、自主证明1、定理在椭圆12222byax（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN.同理可证，在椭圆12222aybx（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200baxykMN.2、定理在双曲线12222byax（a＞0，b＞0）中，若直线l与双曲线相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN.同理可证，在双曲线12222bxay（a＞0，b＞0）中，若直线l与双曲线相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200baxykMN.3、定理在抛物线)0(22mmxy中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则mykMN0.例1设椭圆方程为1422yx，过点)1,0(M的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足)(21OBOAOP，点N的坐标为21,21.当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）||NP的最大值和最小值.例2已知双曲线13:22xyC，过点)1,2(P作直线l交双曲线C于A、B两点.（1）求弦AB的中点M的轨迹；（2）若P恰为弦AB的中点，求直线l的方程.例3抛物线xy42的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）A.12xyB.)1(22xyC.212xyD.122xy1.已知椭圆4222yx，则以)1,1(为中点的弦的长度为（）A.23B.32C.330D.2632.已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F，直线1xy与其相交于M、N两点，MN的中点的横坐标为32，则此双曲线的方程为（）A.14322yxB.13422yxC.12522yxD.15222yx3.已知直线02yx与抛物线xy42交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是________.【规律总结】同理可证，在抛物线)0(22mmyx中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则mxkMN01.一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。答案例1.解：设直线与椭圆的交点为、为的中点又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。例2.解：设存在被点平分的弦，且、则，，两式相减，得故直线由消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一...