立体几何专题（三）考试时间：60分钟考试范围：立体几何大题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一总分得分△注意事项：1.填写答题卡请使用2B铅笔填涂2.提前5分钟收答题卡一、解答题（本大题共6小题，共60分）如图，在正方体中，，，P，Q，M，N分别是棱，，，，，的中点.求证：（Ⅰ）直线∥平面；（Ⅱ）直线⊥平面.如图，四棱锥中，分别为线段的中点.（Ｉ）求证：；（II）求证：.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，,、分别为、的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.C1B1A1FECBA如图，四凌锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA上面ABCD，E为PD的中点。（I）证明：PB//平面AEC;(II)设置AP=1，AD=3,三棱锥P-ABD的体积V=43，求A到平面PBC的距离。2015万卷小专题卷1如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.(Ⅰ)证明EF//平面A1CD;(Ⅱ)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.（本小题满分13分）如图，四边形为矩形，⊥平面，,作如图3折叠，折痕，其中点分别在线段上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且⊥.（1）证明：⊥平面;（2）求三棱锥的体积.2015万卷小专题卷2立体几何专题（三）答案解析一、解答题证明：（Ⅰ）连接AD1，由是正方体，知AD1∥BC1，因为，分别是，的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而平面，且平面，故直线∥平面．（Ⅱ）如图，连接，，则.由平面，平面，可得.又，所以平面.而平面，所以.因为M，N分别是，的中点，所以MN∥BD，从而.同理可证.又，所以直线⊥平面.证明：(1)设连接OF,EC由于E为AD的中点，所以AE//BC,AE=AB=BC,因此四边形ACBE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC的中点因此在△PAC中，可得AP//OF.又平面BEF，平面BEF所以AP//平面BEF(Ⅱ)由题意知所以四边形BCDE为平行四边形,因此BE//CD.又平面PCD，所以，因此．因为四边形ABCE为菱形，所以．又平面PAC，所以平面PAC．解：（Ⅰ）在三棱柱中，底面．所以．又因为．所以平面．所以平面平面．（Ⅱ）取中点，连结，．因为，分别是，的中点，所以，且．因为，且，所以，且．所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，平面，所以平面．（Ⅲ）因为，，，所以．所以三棱锥的体积．解：（I）连接BD交AC于点O,连结EO。因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。又E为PD的中点，所以EO∥PB。EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB∥平面AEC.2015万卷小专题卷3GC1B1A1FECBA(II)作由题设知平面PAB,所以故又,所以A到平面PBC的距离为。(1)如图，在三棱柱Z中，AC∥,且AC=,连接ED，ABC中，D,E分别为AB,BC的中点，DE=,且DE∥ACF为的中点，可得且∥DE即四边形为平行四边形，所以EF∥又EF平面,所以EF∥平面(2)由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故,又由于侧棱,,CD,所以,又,因此CD平面,而CD,所以平面,（3）在平面内，过点B作BG交直线于点G,连接CG由于平面，而直线是与平面，的交线故BG，由此可得为直线BG与所成的角设棱长为a,可得=，由,易得BG=，在中，所以，直线BC所成的角的正弦值为.2015万卷小专题卷4
