题组层级快练(二十八)1．(2019·沧州七校联考)已知△ABC，a＝，b＝，∠A＝30°，则c＝()A．2B.C．2或D．均不正确答案C解析 ＝，∴sinB＝＝·sin30°＝. b>a，∴B＝60°或120°.若B＝60°，C＝90°，∴c＝＝2.若B＝120°，C＝30°，∴a＝c＝.2．(2019·安徽马鞍山一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝60°，则c＝()A.B．1C.D．2答案B解析 a＝，b＝2，A＝60°，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得3＝4＋c2－2×2×c×，整理得c2－2c＋1＝0，解得c＝1.故选B.3．(2019·安徽合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()A.B.C．2D．2答案B解析因为S＝AB·ACsinA＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3.所以BC＝.4．(2016·山东)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.B.C.D.答案C解析由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2(1－sinA)＝2b2(1－cosA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0
0，∴A的取值范围是(0，]．故选C.6．(2019·广东惠州三调)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，则△ABC的面积为()A.＋1B.－1C．4D．2答案A解析由正弦定理＝，得sinB＝＝.又c>b，且B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝，所以S＝bcsinA＝×2×2sin＝×2×2×＝＋1.故选A.7．(2019·江西七校一联)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案D解析sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1，则有A＋B＝，故三角形为直角三角形．8．(2014·江西)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是()A．3B.C.D．3答案C解析利用所给条件以及余弦定理整体求解ab的值，再利用三角形面积公式求解． c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.9．(2014·课标全国Ⅱ)已知钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝()A．5B.C．2D．1答案B解析由题意可得AB·BC·sinB＝，又AB＝1，BC＝，所以sinB＝，所以B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.由余弦定理可得AC＝＝.故选B.10．(2015·安徽，文)在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________．答案2解析因为∠A＝75°，∠B＝45°，所以∠C＝60°，由正弦定理可得＝，解得AC＝2.11．(2015·重庆，文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________．答案4解析由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理cosC＝，得－＝，解得c＝4.12．(2019·河北唐山一模)在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°，则cosB＝________．答案解析 a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.∴2sinB＝sinA＋sinC. A－C＝90°，∴2sinB＝sin(90°＋C)＋sinC.∴2sinB＝cosC＋sinC.∴2sinB＝sin(C＋45°)．① A＋B＋C＝180°且A－C＝90°，∴C＝45°－，代入①式中，2sinB＝sin(90°－)．∴2sinB＝cos.∴4sincos＝cos.∴sin＝.∴cosB＝1－2sin2＝1－＝.13．(2018·北京，文)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；的取值范围是________．答案60°(2，＋∞)解析△ABC的面积S＝acsinB＝(a2＋c2－b2)＝×2accosB，所以tanB＝，因为0°<∠B<180°，所以∠B＝60°.因为∠C为钝角，所以0°<∠A<30°，所以0
