第19课时导数的实际应用(限时：10分钟)1．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A．10B．15C．25D．50解析：设内接矩形的长为x，则宽为，∴S2＝x2·＝y，∴y′＝50x－x3.令y′＝0得x2＝50，x＝0(舍去)，∴S2＝625，即S＝25.答案：C2．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()A．32,16B．30,15C．40,20D．36,18解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x＞0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最小．答案：A3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0.所以当x＝9时，y取得最大值．答案：C4．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0＜x＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为__________．解析：V(x)＝，V′(x)＝－x2＋60x.令V′(x)＝0，得x＝40. 0＜x＜40时，V′(x)＞0；40＜x＜60时，V′(x)＜0，∴x＝40时，V(x)最大．答案：405．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器的高为x，容器的体积为V，则V＝(90－2x)(48－2x)x(0＜x＜24)，即V＝4x3－276x2＋4320x. V′＝12x2－552x＋4320，1由V′＝12x2－552x＋4320＝0，得x1＝10，x2＝36. 0＜x＜10时，V′＞0,10＜x＜36时，V′＜0，x＞36时，V′＞0，∴当x＝10时，V有极大值V(10)＝1960.又 0＜x＜24，∴V(10)又是最大值．∴当x＝10时，V有最大值V(10)＝1960.故当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积是1960cm3.(限时：30分钟)1．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产()A．9千台B．8千台C．6千台D．3千台解析：构造利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x＞0)，求导得y′＝36x－6x2＝0，解得x＝6(x＝0舍去)．所以x＝6时，函数取得极大值，也是最大值．答案：C2．有边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为()A．18B．10C．8D．1解析：设正方形的边长为x，则V＝(8－2x)(5－2x)x＝2(2x3－13x2＋20x)，V′＝4(3x2－13x＋10)，令V′＝0，得x＝1，所以当x＝1时，容积V取最大值为18.答案：D3．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为()A．2πr2B．πr2C．4πr2D.πr2解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcosθ，l＝2rsinθ，∴S侧＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ.S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝4πr2cos2θ＝0，∴θ＝.当θ＝，即R＝r时，S侧最大且(S侧)max＝2πr2.答案：A4．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()2A．6B．8C．10D．12解析：设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)(8－x)．令V′＝0，则在(0,24)内有x＝8，故当x＝8时，V有最大值．答案：B5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元解析：设毛利润为L(P)，由题意知，L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0...
