第6讲函数与导数题型一利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题例1(13分)(2014·安徽)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.规范解答解(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.[1分]令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1
x2时，f′(x)<0；当x10.[4分]故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增.[5分](2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.[6分]①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值；[8分]②当00解集出错，只得2分.3.若(－∞，x1)和(x2，＋∞)中间用∪连接，扣1分.第(2)问得分点1.没根据a≥4与04与00，f(x)在(1，＋∞)单调递增.所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－11，故当x∈(1，)时，f′(x)<0，当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，)单调递减，在(，＋∞)单调递增.所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f()<.而f()＝aln＋＋>，所以不合题意.[9分]③若a>1，则f(1)＝－1＝<.[11分]综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞).[12分]评分细则第(1)问得分点1.若导函数求错，不得分.2.若f′(1)＝0解错，只得2分.第(2)问得分点1.若没求定义域，其他正确，不扣分.2.没进行分类讨论的，不得分.漏一类扣2分.3.没有结论的扣1分.4.利用其他方法求解的，同样得分.第一步：整理函数式，对其求导数；第二步：研究函数单调性，含参数的，要依题意对参数进行讨论；第三步：应用函数单调性，解决题目涉及的问题，如存在性问题，恒成立问题，探索性问题等，主要依据是函数最值、单调性；第四步：得出综合结论；第五步：回顾反思，查易错点，验规范性.跟踪训练2已知函数f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R).(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在[，e]上有两个零点，求实数m的取值范围.答案精析第6讲函数与导数跟踪训练1解(1)当a＝1时，f(x)＝，f(2)＝，又f′(x)＝＝，f′(2)＝－.所以，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－＝－(x－2)，即6x＋25y－32＝0.(2)f′(x)＝＝.由于a≠0，以下分两种情况讨论．①当a＞0时，令f′(x)＝0，得到x1＝－，x2＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－)－(－，a)a(...
