3.2空间向量基本定理课后训练案巩固提升A组1.下列命题是真命题的有()①空间中的任何一个向量都可用a,b,c表示;②空间中的任何一个向量都可用基底a,b,c表示;③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示;④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示.A.4个B.3个C.2个D.1个解析:根据基底的含义可知②③是真命题.答案:C2.设命题p:a,b,c是三个非零向量;命题q:a,b,c为空间的一个基底,则命题p是命题q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:若a,b,c为非零向量,则a,b,c不一定为空间的一个基底,但若a,b,c为空间的一个基底,则a,b,c肯定为非零向量,所以p是q的必要不充分条件.答案:B3.已知a,b,c是不共面的三个向量,则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是()A.2a,a-b,a+2bB.2b,b-a,b+2aC.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c解析:设a+2b=λ(2a)+μ(a-b),得λ=,μ=-2,所以2a,a-b,a+2b共面.同理可得B,D选项中的三个向量分别共面,均不能构成空间的一个基底.答案:C4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是四边形BB1C1C的中心,且=a,=b,=c,则=()A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.-a+b+c1解析:)=c+(-)=c-a+(-c)+b=-a+b+c.答案:D5.已知平行六面体OABC-O'A'B'C'中,=a,=b,=c.若D是四边形OABC的中心,则()A.=-a+b+cB.=-b+a+cC.a-b-cD.a+c-b解析:=-b+)=-b+a+c.答案:B6.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c,且f=-a+b+c,k=a+b+c,h=a-b+c,则在f,k,h中与相等的向量是.解析:求与相等的向量,就是用基向量a,b,c线性表示)=-=-a+b+c=f.答案:f7.如图,已知四面体O-ABC,M是OA的中点,G是△ABC的重心,用基底表示向量的表达式为.解析:)==-.答案:-28.如图,已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,设M是底面ABCD的对角线的交点,N是侧面BCC'B'对角线BC'上的点,且分的比是3∶1,设=α+β+γ,则α,β,γ的值分别为,,.解析:∵=)+)=(-)+)=,∴α=,β=,γ=.答案:9.导学号90074030如图,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,G为△PDC的重心,=i,=j,=k,试用基底i,j,k表示向量.解=)==i+j-k.===3=-i+j+k.B组1.在以下3个命题中,真命题的个数是()①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面.②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线.③若a,b是两个不共线向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底.A.0B.1C.2D.3解析:①②是真命题,③是假命题.答案:C2.如图,在四面体O-ABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OA=2OM,N为BC中点,则等于()A.a-b+cB.-a+b+cC.a+b-cD.-a+b-c解析:)-=-a+b+c.答案:B3.已知A-BCD是四面体,O为△BCD内一点,则)是O为△BCD的重心的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件解析:若O为△BCD的重心,则),反之也成立.答案:C4.4如图,若P为平行四边形ABCD所在平面外的一点,且G为△PCD的重心,若=x+y+z,试求x+y+z的值.解取CD的中点H,连接PH(图略).∵G为△PCD的重心,∴.∴=)==)+)==.∴x=,y=,z=,∴x+y+z=.5.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE.证明∵EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,∴∠EGF=90°,△ABC∽△EFG.∵AB=2EF,∴AC=2EG.∵M为AD的中点,∴MA=DA.∴.∴.又AF⫋平面ABFE,GM⊈平面ABFE,∴GM∥平面ABFE.6.5导学号90074031如图,在平行六面体ABCD-EFGH中,已知M,N,R分别是AB,AD,AE上的点,且AM=MB,AN=ND,AR=2RE,求平面MNR分对角线AG所得的线段AP与AG的比.解设=m,由=2+3,得=2m+3m.∵P,M,R,N四点共面,∴2m+m+3m=1,解得m=,即.6
