第35课平面向量的平行与垂直一、填空题1.已知向量a=(2,-3),b=(3,λ).若a∥b,则实数λ=.2.已知向量a=(sinx,cosx),b=(1,-2),且a∥b,那么tanx=.3.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,那么实数k=.4.已知向量a=(3,1),b=(0,1),c=(k,3).若a+2b与c垂直,则实数k=.5.(2014·湖北卷)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=.6.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=23,且a⊥(a+b),则b在a方向上的投影为.7.(2014·苏州期末)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则实数t的值为.8.(2014·扬州期末)已知a,b,c是单位向量,a⊥b,那么(a+b+2c)·c的最大值是.二、解答题9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R.(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求|a-b|.10.已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2).(1)若a∥b,求tanθ的值;(2)若|a|=|b|,0<θ<π,求θ的值.11.(2014·常州期末)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.设向量m=(a,c),n=(cosC,cosA).(1)若m∥n,c=3a,求A;(2)若m·n=3bsinB,cosA=45,求cosC的值.1第35课平面向量的平行与垂直1.-92解析:由题意得2λ-(-3)×3=0,所以λ=-92.2.-12解析:a∥b-2sinx-cosx=0tanx=-12.3.12解析:因为a·(2a-b)=0,即(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,即k=12.4.-3解析:因为a+2b与c垂直,所以有(a+2b)·c=0,即a·c+2b·c=0,所以3k+3+23=0,解得k=-3.5.±3解析:因为a+λb=(3+λ,3-λ),a-λb=(3-λ,3+λ),又(a+λb)⊥(a-λb),所以(a+λb)·(a-λb)=(3+λ)(3-λ)+(3-λ)(3+λ)=0,解得λ=±3.6.-3解析:因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=a2+a·b=9+3|b|cosθ=0,所以|b|cosθ=-3.7.2解析:因为单位向量a,b的夹角为60°,所以a·b=12,由b·c=0,得ta·b+(1-t)b2=0,即12t+(1-t)=0,解得t=2.8.2+2解析:方法一:因为单位向量a,b垂直,所以|a+b|=222aabb=2,设a+b与c的夹角为θ,则(a+b+2c)·c=(a+b)·c+2c2=2cosθ+2≤2+2,当且仅当θ=0°时等号成立.方法二:以a,b的公共起点作为坐标原点,a,b分别为x,y轴正半轴上的单位向量,建立平面直角坐标系,则a=(1,0),b=(0,1),设c=(cosθ,sinθ),则(a+b+2c)·c=(a+b)·c+2=(1,1)·(sinθ,cosθ)+2=2+sinθ+cosθ=2+2sin4≤2+2.9.(1)若a⊥b,则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0,整理得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.(2)若a∥b,则有1×(-x)-x(2x+3)=0,即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),2所以a-b=(1,0)-(3,0)=(-2,0),所以|a-b|=22(-2)0=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),所以|a-b|=222(-4)=25.综上,|a-b|=2或25.10.(1)因为a∥b,所以2sinθ=cosθ-2sinθ,于是4sinθ=cosθ,故tanθ=14.(2)由|a|=|b|,知sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5,所以1-2sin2θ+4sin2θ=5,从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,即sin2θ+cos2θ=-1,则sin24=-22.因为0<θ<π,所以4<2θ+4<94,所以2θ+4=54或2θ+4=74,因此θ=2或θ=34.11.(1)因为m∥n,所以acosA=ccosC,由正弦定理得sinAcosA=sinCcosC,化简得sin2A=sin2C.因为A,C∈(0,π),所以2A=2C或2A+2C=π,从而A=C(舍去)或A+C=2,所以B=2.在Rt△ABC中,tanA=ac=33,A=6.(2)因为m·n=3bsinB,所以acosC+ccosA=3bsinB.由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=3sin2B,从而sin(A+C)=3sin2B.因为A+B+C=π,所以sin(A+C)=sinB,从而sinB=13.因为cosA=45>0,A∈(0,π),3所以A∈0,2,sinA=35.因为sinA>sinB,所以a>b,从而A>B,B为锐角,cosB=223.所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-45×223+35×13=3-8215.4
