选修4－4坐标系与参数方程第1课时坐标系(理科专用)1.在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝分成两部分的面积之比是多少？解：∵直线θ＝过圆ρ＝4的圆心，∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.2.在极坐标系中，直线ρsin＝3被圆ρ＝5截得的弦长是多少？解：直线和圆转化为直角坐标方程分别为直线x＋y＝3，圆x2＋y2＝25，圆心到直线的距离为3，得弦长为8.3.在极坐标系中，求圆ρ＝1上的点到直线ρcos＝3的距离的最大值．解：将直线和圆都化为直角坐标方程，直线x＋y－6＝0，圆x2＋y2＝1，圆心(0，0)到直线的距离为3，∴直线与圆上的点最大距离为4.4.在极坐标系下，求圆ρ＝5cosθ－5sinθ的圆心的坐标．解：圆心的直角坐标为，故圆心的极坐标为.(答案不唯一)5.曲线的极坐标方程为ρ＝tanθ·，求曲线的直角坐标方程．解：ρ＝tanθ·＝，ρcos2θ＝sinθ，ρ2cos2θ＝ρsinθ，即曲线的直角坐标方程为x2＝y.6.极坐标方程ρcos2θ＝0表示的曲线是什么？解：ρcos2θ＝0，cos2θ＝0，θ＝kπ±，为两条相交直线．7.极坐标系中，曲线ρ＝－4sinθ与ρcosθ＝1相交于点A、B，求AB的长．解：在平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sinθ和ρcosθ＝1分别表示圆x2＋＝4和直线x＝1，作图易知＝2.8.在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝，求圆C的极坐标方程．解：(解法1)设P(ρ，θ)是圆上的任意一点，则PC＝R＝.由余弦定理，得ρ2＋22－2×2×ρcos＝5.化简，得ρ2－4ρcos＋1＝0，此即为所求的圆C的方程.(解法2)将圆心C化成直角坐标为(1，)，半径R＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.再将C化成极坐标方程，得(ρcosθ－1)2＋(ρcosθ－)2＝5.化简，得ρ2－4ρcos(θ－)＋1＝0，此即为所求的圆C的方程.9.设点P在曲线ρsinθ＝2上，点Q在曲线ρ＝－2cosθ上，求|PQ|的最小值．解：以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系．将ρsinθ＝2化为直角坐标方程，得直线方程y＝2.将ρ＝－2cosθ化为直角坐标方程，得圆方程(x＋1)2＋y2＝1.所以圆心(－1，0)到直线的距离为2，|PQ|的最小值为2－1＝1.10.圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－sinθ.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过圆O1、圆O2两个交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ.所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程．同理x2＋y2＋y＝0为圆O2的直角坐标方程．(2)由上述两个方程相减，得过交点的直线的直角坐标方程为4x＋y＝0.11.已知椭圆C的极坐标方程为ρ2＝，点F1、F2为其左、右焦点，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝ρcosθ－2.求：(1)直线l和曲线C的普通方程；(2)点F1、F2到直线l的距离之和．解：(1)由ρsinθ＝ρcosθ－2，得直线l的普通方程为y＝x－2；由ρ2＝，得ρ2(3cos2θ＋4sin2θ)＝12，即3x2＋4y2＝12，曲线C的普通方程为＋＝1.(2)∵F1(－1，0)，F2(1，0)，∴点F1到直线l的距离d1＝＝，点F2到直线l的距离d2＝＝，∴d1＋d2＝2.
