第九章平面解析几何第2课时直线的方程1.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为________．答案：(0，3)解析：∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2.又l2过(－1，1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0，3)．2.直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a、b、c应满足的关系式为________．答案：>0，<0(或ab>0，bc<0)解析：由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－，易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0.3.将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为________．答案：y＝－x＋解析：将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.4.过点P(－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝0解析：直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；l不过原点时，设方程为＋＝1，将点(－2，3)代入，得a＝1，直线方程为x＋y＝1.综上，l的方程为x＋y－1＝0或2y＋3x＝0.5.直线l的斜率为，l与坐标轴围成的三角形周长是12，则l的方程为________________．答案：3x－4y＋12＝0或3x－4y－12＝0解析：l：y＝x＋b，∴|b|＋|b|＋|b|＝12，∴|b|＝3，∴l的方程为3x－4y＋12＝0或3x－4y－12＝0.6.已知过点(0，1)的直线l：xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝________．答案：1解析：依题意得，tanα＝2，tanβ＝－，故tan(α＋β)＝＝＝1.7.若过点P(1－a，1＋a)与Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．答案：(－2，1)解析：k＝tanα＝＝.∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，故－2＜a＜1.8.过点P(1，4)引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，则这条直线的方程为____________．答案：2x＋y－6＝0解析：设所求的直线方程为y－4＝k(x－1)，显然k<0.直线在x轴、y轴上的截距分别为1－、4－k.由于1－>0，且4－k>0可得k<0.直线在两坐标轴上的截距之和为S＝＋(4－k)＝5＋(－k)＋≥5＋4＝9，当且仅当－k＝－，即k＝－2时，S最小值为9.故所求直线方程为y－4＝－2(x－1)，即2x＋y－6＝0.9.已知△ABC的三个顶点为A(2，8)、B(－4，0)、C(6，0)，求过点B且将△ABC面积平分的直线方程．解：AC中点D的坐标D(4，4)，则直线BD即为所求，由直线方程的两点式得＝，即x－2y＋4＝0.10.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．解：由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.设A(m，m)，B(－n，n)，所以AB的中点C.由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得解得m＝，所以A(，)．又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝(x－1)，即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.11.在△ABC中，已知点A(5，－2)、B(7，3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上.求：(1)点C的坐标；(2)直线AB的方程；(3)直线MN的方程；(4)直线AB与两坐标轴围成三角形的面积．解：(1)设点C(x，y)，则解得∴C(－5，－3)．(2)∵kAB＝＝，∴直线AB的方程为y＋2＝(x－5)，即5x－2y－29＝0.(3)M，N(1，0)，∴直线MN的方程为＋＝1，即5x－2y－5＝0.(4)由(2)知直线AB的方程为5x－2y－29＝0，令x＝0，则y＝－；令y＝0，则x＝.∴直线AB与两坐标轴围成三角形的面积S＝××＝.12.已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．(1)证明：将直线l的方程整理为y－＝a(x－)，∴直线l的斜率为a，且过定点A(，)，而点A在第一象限，∴直线l恒过第一象限．(2)解：要使直线l不经过第二象限，则直线l所在的区域介于AO和AB之间，如图，包含直线AO，但不包含直线AB.∴a≥3.
