第九章平面解析几何第6课时椭圆(1)1.已知椭圆的长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是________.答案:+=1或+=1解析: a=4,e=,∴c=3.∴b2=a2-c2=16-9=7.∴椭圆的标准方程是+=1或+=1.2.2<m<6是方程+=1表示椭圆的________条件.答案:必要不充分解析:若+=1表示椭圆,则有∴2<m<6且m≠4,故2<m<6是+=1表示椭圆的必要不充分条件.3.已知F1、F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9,则b=________.答案:3解析:依题意,有可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故b=3.4.椭圆+=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=________,∠F1PF2=________.答案:2120°解析: a2=9,b2=2,∴c===,∴|F1F2|=2.又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=2.又由余弦定理,得cos∠F1PF2==-,∴∠F1PF2=120°.5.已知椭圆+=1,长轴在y轴上.若焦距为4,则m=________.答案:8解析:将椭圆的方程转化为标准形式为+=1,显然m-2>10-m>0,即10>m>6.()2-()2=22,解得m=8.6.设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为________.答案:解析:由题意可得PF2=F1F2,∴2=2c,∴3a=4c,∴e=.7.已知椭圆+=1(a>b>0)的两顶点为A(a,0),B(0,b),且左焦点为F,△FAB是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e为________.答案:解析:由题意得a2+b2+a2=(a+c)2,即c2+ac-a2=0,即e2+e-1=0,解得e=.又e>0,故所求的椭圆的离心率为.8.已知椭圆C1:+=1(a1>b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2.给出如下四个结论:①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点;②a-a=b-b;③>;④a1-a2<b1-b2.其中,所有正确的结论是________.(填序号)答案:①②④解析:由已知条件可得a-b=a-b,可得a-a=b-b,而a1>a2,可知两椭圆无公共点,即①正确;又a-a=b-b,知②正确;由a-b=a-b,可得a+b=b+a,则a1b2,a2b1的大小关系不确定,>不正确,即③不正确; a1>b1>0,a2>b2>0,∴a1+a2>b1+b2>0,又由(a1+a2)·(a1-a2)=(b1+b2)(b1-b2),可得a1-a2<b1-b2,即④正确.综上可得,正确的结论序号为①②④.9.已知椭圆G:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为(2,0).斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(1)求椭圆G的方程;(2)求△PAB的面积.解:(1)由已知得c=2,=,解得a=2.又b2=a2-c2=4,所以椭圆G的方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=x+m.由得4x2+6mx+3m2-12=0.①设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1b>0),则b=.因为==,所以a=2.所以椭圆C2的方程为+=1.(2)证明:设P(x0,y0),y0≠0,则+=1,从而y=12-2x.将x=x0代入+=1,得+=1,从而y2=3-=,即y=±.因为P、H在x轴的同侧,所以取y=,即H.所以kAP·kAH=·===-1,从而A2P⊥A1H.又PH⊥A1A2,所以H为△PA1A2的垂心.11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点F的直线交椭圆C于M、N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.解:(1)设椭圆C的半...