第九章平面解析几何第6课时椭圆(1)1.已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是________．答案：＋＝1或＋＝1解析： a＝4，e＝，∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.2.2＜m＜6是方程＋＝1表示椭圆的________条件．答案：必要不充分解析：若＋＝1表示椭圆，则有∴2＜m＜6且m≠4，故2＜m＜6是＋＝1表示椭圆的必要不充分条件．3.已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．答案：3解析：依题意，有可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故b＝3.4.椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2＝________．答案：2120°解析： a2＝9，b2＝2，∴c＝＝＝，∴|F1F2|＝2.又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2.又由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.5.已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m＝________．答案：8解析：将椭圆的方程转化为标准形式为＋＝1，显然m－2>10－m>0，即10>m>6.()2－()2＝22，解得m＝8.6.设F1、F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．答案：解析：由题意可得PF2＝F1F2，∴2＝2c，∴3a＝4c，∴e＝.7.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两顶点为A(a，0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为________.答案：解析：由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝.又e＞0，故所求的椭圆的离心率为.8.已知椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)的焦点相同且a1＞a2.给出如下四个结论：①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；②a－a＝b－b；③＞；④a1－a2＜b1－b2.其中，所有正确的结论是________．(填序号)答案：①②④解析：由已知条件可得a－b＝a－b，可得a－a＝b－b，而a1＞a2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a－a＝b－b，知②正确；由a－b＝a－b，可得a＋b＝b＋a，则a1b2，a2b1的大小关系不确定，＞不正确，即③不正确； a1＞b1＞0，a2＞b2＞0，∴a1＋a2＞b1＋b2＞0，又由(a1＋a2)·(a1－a2)＝(b1＋b2)(b1－b2)，可得a1－a2＜b1－b2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.9.已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．解：(1)由已知得c＝2，＝，解得a＝2.又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m.由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1b>0)，则b＝.因为＝＝，所以a＝2.所以椭圆C2的方程为＋＝1.(2)证明：设P(x0，y0)，y0≠0，则＋＝1，从而y＝12－2x.将x＝x0代入＋＝1，得＋＝1，从而y2＝3－＝，即y＝±.因为P、H在x轴的同侧，所以取y＝，即H.所以kAP·kAH＝·＝＝＝－1，从而A2P⊥A1H.又PH⊥A1A2，所以H为△PA1A2的垂心．11.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1，0)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点F的直线交椭圆C于M、N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围．解：(1)设椭圆C的半...
