解答题满分练21.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥PC；(1)求证：平面PAB⊥平面PCD；(2)若过点B的直线l垂直于平面PCD，求证：l∥平面PAD.证明(1)因为ABCD为矩形，所以CD⊥AD，因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD,CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因为AP⊂平面PAD，所以PA⊥CD，又PA⊥PC,PC∩CD＝C,CD，PC⊂平面PCD，所以AP⊥平面PCD，又AP⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.(2)由(1)知，AP⊥平面PCD，又l⊥平面PCD，所以l∥PA，又l⊄平面PAD,AP⊂平面PAD，所以l∥平面PAD.2.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足＋＝0.(1)求角B的值；(2)若c＝2，AC边上的中线BD＝，求△ABC的面积.解(1)＋＝0⇔＋＝0,所以cosB(2sinA＋sinC)＋sinBcosC＝0，所以2sinAcosB＋cosBsinC＋sinBcosC＝0，所以2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0，所以sinA(2cosB＋1)＝0，因为sinA≠0，所以cosB＝－.所以B＝.(2)延长BD到E，使BD＝DE，易知四边形AECB为平行四边形，在△BEC中，EC＝2，BE＝2BD＝，因为∠ABC＝，所以∠BCE＝，由余弦定理得，BE2＝EC2＋BC2－2EC·BC·cos∠BCE，即3＝22＋a2－2·2a·cos，1即a2－2a＋1＝0，解得a＝1，S△ABC＝acsinB＝×1×2×＝.3.某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy.(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？(隧道口截面面积公式为S＝lh)解(1)设抛物线的方程为y＝－ax2(a＞0)，则抛物线过点，代入抛物线方程得a＝，令y＝－6，解得x＝±20，则隧道设计的拱宽l是40米.(2)抛物线最大拱高为h米，h≥6，抛物线过点，代入抛物线方程得a＝.令y＝－h，则－x2＝－h，解得x2＝，则2＝，h＝， h≥6，∴≥6，即20＜l≤40，∴S＝lh＝l·＝，200)，则g′(x)＝2x－1－＝＝，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则g(x)min＝g(1)＝k.因此，欲使不等式f(x)≥x2－3x＋k有大于0的实数解，则k≤0.即实数k的取值范围是(－∞，0].(3)对于任意的x∈[1，＋∞)，f(x)≤(m－2)x－恒成立，等价于lnx－m≤0在x∈[1，＋∞)上恒成立.设h(x)＝lnx－m(x≥1)，则h′(x)＝－m＝.若m≤0，则h′(x)>0，h(x)在[1，＋∞)上为增函数，h(x)≥h(1)＝0，这与题设h(...
