【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线练习理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.(2015·浙江卷)双曲线－y2＝1的焦距是______，渐近线方程是________.解析由双曲线方程得a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，∴焦距为2，渐近线方程为y＝±x.答案2y＝±x2.(2016·南昌模拟)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线倾斜角为，则双曲线C的离心率为________.解析由题意＝，∴＝＝，e＝.答案3.(2015·北京卷)已知(2，0)是双曲线x2－＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.解析由题意：c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2.得b2＝4－1＝3，又b＞0，所以b＝.答案4.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为________.解析由题意知，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝2x，所以＝2，即b2＝4a2.又双曲线的一个焦点是直线l与x轴的交点，所以该焦点的坐标为(－5，0)，所以c＝5，即a2＋b2＝25，联立得解得a2＝5，b2＝20，故双曲线的方程为－＝1.答案－＝15.(2016·苏北四市调研)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________.解析由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.∴PQ＝4b＝16>2a.又 A(5，0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知∴PF＋QF＝28.∴△PQF的周长是PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.答案446.如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________.解析F1F2＝2.设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0). AF2＋AF1＝4，AF2－AF1＝2a，∴AF2＝2＋a，AF1＝2－a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴AF＋AF＝F1F，即(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝＝.答案17.(2016·南京师大附中模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为________.解析双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线y＝x的距离等于b，依题意b＝，4b2＝4(c2－a2)＝c2，3c2＝4a2，∴e2＝，e＝.答案8.(2015·重庆卷改编)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________.解析不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c，0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为，，又A1，A2的坐标分别为(－a，0)，(a，0)，所以A1B＝，A2C＝，因为A1B⊥A2C，所以A1B·A2C＝0，即(c＋a)(c－a)－·＝0，即c2－a2－＝0，所以b2－＝0，故＝1，即＝1，又双曲线的渐近线的斜率为±，故该双曲线的渐近线的斜率为±1.答案±1二、解答题9.(2015·江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－).(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0.(1)解 e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0). 双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x2－y2＝6.(2)证明法一由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－. 点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴MF1·MF2＝0.法二由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，MF1＝(－2－3，－m)，MF2＝(2－3，－m)，∴MF1·MF2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2， 点M(3，0)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴MF1·MF2＝0.10.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP＝PB，求△AOB的面积.解(1)依题意得解得故双曲线的方程为－x2＝1.2(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m＞0，n＞0，由AP＝PB得点P的坐标为.将点P的坐标代入－x2＝1，整理得mn＝1.设∠AOB＝2θ， tan＝2，则tanθ＝...
