课时作业9复数代数形式的加减运算及其几何意义时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A．－1＋iB．1－iC．iD．－i解析：原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.答案：A2．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i，故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限．答案：C3．在复平面内的平行四边形ABCD中，AC对应的复数是6＋8i，BD对应的复数是－4＋6i，则DA对应的复数是()A．2＋14iB．1＋7iC．2－14iD．－1－7i解析：依据向量的平行四边形法则可得DA＋DC＝DB，DC－DA＝AC，由AC对应的复数是6＋8i，BD对应的复数是－4＋6i，依据复数加减法的几何意义可得DA对应的复数是－1－7i.答案：D4．复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为()A．5B.C．6D.解析：|z1－z2|＝|(cosθ－sinθ)＋2i|＝＝＝≤.答案：D5．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．答案：A6．满足条件|z|＝1及＝的复数z的集合是()1A.B.C.D.解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，依题意得解得所以z＝±i.答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.解析：∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，∴即∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i8．已知z是复数，|z|＝3且z＋3i是纯虚数，则z＝________.解析：设z＝a＋bi，则a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i是纯虚数，∴a＝0，b＋3≠0，又∵|z|＝3，∴b＝3，∴z＝3i.答案：3i9．已知|z|＝1，则|z－1＋i|的最大值和最小值分别是________、________.解析：因为|z|＝1，所以z在以原点为圆心，半径为1的圆上，|z－1＋i|＝|z－(1－i)|，即圆上一点到点(1，－)的距离(设为d)，dmax＝3，dmin＝1.答案：31三、解答题(共计40分)10．(10分)已知复数z与2＋4i的和为2－16i，求z.解：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋bi＋2＋4i＝2－16i，所以a＋2＝2，b＋4＝－16，所以a＝0，b＝－20，即z＝－20i.11．(15分)已知3z1＋(z2＋1)i＝2z2－(z1－2)i.(1)若z1，z2在复平面内的对应点关于原点对称，求z1，z2的值；(2)若z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，求z1，z2的值．解：(1)由z1，z2的对应点关于原点对称，得z1＝－z2.所以3z1＋(－z1＋1)i＝－2z1－(z1－2)i，即5z1＝i.所以z1＝，z2＝－.(2)由z1，z2的对应点关于虚轴对称，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝－x＋yi.所以3(x＋yi)＋(－x＋yi＋1)i＝2(－x＋yi)－(x＋yi－2)i，即(3x－y)＋(3y－x＋1)i＝(－2x＋y)＋(2y－x＋2)i.所以解得2所以z1＝＋i，z2＝－＋i.12．(15分)已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设AB对应的复数是z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．解：(1)∵点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos2θ)．∴AB＝(－cos2θ，cos2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)．∴AB对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，∴sinθ＝±.又∵θ∈(0，π)，∴sinθ＝，∴θ＝或.3
