课时分层作业(二十四)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC中点，E为AD的中点，则OE＝()A.a－b＋cB．a－b＋cC.a＋b＋cD.a＋b＋cC[OE＝OA＋AE＝OA＋AD＝OA＋×(AB＋AC)＝OA＋(OB－OA＋OC－OA)＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c.]2．在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，与向量A′B′的模相等的向量有()A．7个B．3个C．5个D．6个A[|D′C′|＝|DC|＝|C′D′|＝|CD|＝|BA|＝|AB|＝|B′A′|＝|A′B′|.]3．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量AC1的共有()①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1.A．1个B．2个C．3个D．4个D[根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1.②(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1.③(AB＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1.④(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1.所以，所给4个式子的运算结果都是AC1.]二、填空题4．如图，已知空间四边形ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF＝________(用向量a，b，c表示)．[解析]设G为BC的中点，连接EG，FG，则EF＝EG＋GF＝AB＋CD＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c.[答案]3a＋3b－5c5．如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，则x＋y＋z＝________.[解析]EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－1BB1＝AD－AB＋AA1，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.[答案]6．如图，在三棱锥ABCD中，若△BCD是正三角形，E为其重心，则AB＋BC－DE－AD化简的结果为________．[解析] E为△BCD的重心，∴DE＝DF，DF＝DE.∴AB＋BC－DE－AD＝AB＋BF－AD－DE＝AF－AD－DE＝DF－DE＝0.[答案]07．i，j，k是三个不共面的向量，AB＝i－2j＋2k，BC＝2i＋j－3k，CD＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为________．[解析]若A，B，C，D四点共面，则向量AB，BC，CD共面，故存在不全为零的实数a，b，c，使得aAB＋bBC＋cCD＝0，即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0，∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0. i，j，k不共面，∴∴[答案]18．有四个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.其中真命题是________(填序号)．[解析]由共面向量定理知，①正确；若p与a，b共面，当a与b共线且p与a和b不共线时，就不存在实数组(x，y)使p＝xa＋yb成立，故②错误；同理③正确，④错误．[答案]①③三、解答题9．如图所示，ABCDA1B1C1D1中，ABCD是平行四边形．若AE＝EC，A1F＝2FD，若AB＝b，AD＝c，AA1＝a，试用a，b，c表示EF.[解]如图，连接AF，则EF＝EA＋AF.由已知ABCD是平行四边形，故AC＝AB＋AD＝b＋c，A1D＝A1A＋AD＝－a＋c.由已知，A1F＝2FD，∴AF＝AD＋DF＝AD－FD＝AD－A1D＝c－(c－a)＝(a＋2c)，又EA＝－AC＝－(b＋c)，∴EF＝EA＋AF＝－(b＋c)＋(a＋2c)＝(a－b＋c)．10．如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且CF＝CB，CG＝CD.求证：四边形EFGH是梯形．[证明] E，H分别是AB，AD的中点，2∴AE＝AB，AH＝AD，则EH＝AH－AE＝AD－AB＝BD＝(CD－CB)＝＝(CG－CF)＝FG，∴EH∥FG且|EH|＝|FG|≠|FG|.又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形．[能力提升练]1．平面α内有点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足OA＝OB＋xOC＋yOD，OB＝2xOC＋OD＋yOE，则x＋3y＝________.[解析]由点A，B，C，D共面得x＋y＝，又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝，联立方程组解得x＝，y＝，所以x＋3y＝.[答案]2．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若OA＋OB＋OC＝λOG，则λ＝________.[解析]如图，取AB的中点D，OG＝OC＋CG＝OC＋CD＝OC＋·(CA＋CB)＝OC＋[(OA－OC)＋(OB－OC)]＝OA＋OB＋OC.∴OA＋OB＋OC＝3OG.[答案]33．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向...
