第17练导数的概念及简单应用[明晰考情]1.命题角度：考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和最值.2.题目难度：中档偏难.考点一导数的几何意义方法技巧(1)f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率.(2)f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率.1.已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________.答案1解析由f(x＋1)＝，知f(x)＝＝2－.∴f′(x)＝，且f′(1)＝1.由导数的几何意义，得所求切线的斜率k＝1.2.(2018·宿迁检测)曲线C：f(x)＝lnx＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为________.答案3x－y－2＝0解析由题可得f′(x)＝＋2x，f(1)＝1，∴f′(1)＝3，∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.3.设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝__________.答案1解析y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线的斜率为k1＝1.所以直线斜率存在，即a≠0，所以斜率k2＝－，又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，所以k1k2＝－1，解得a＝1.4.(2018·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为________.答案x－y＝0解析方法一 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.方法二 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，1∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.考点二导数与函数的单调性方法技巧(1)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.5.已知函数f(x)＝lnx－x＋，若a＝－f，b＝f(π)，c＝f(5)，则a，b，c的大小关系为________.答案c
f(π)>f(5)，∴a>b>c.6.设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是________.答案(1,2]解析易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－.由f′(x)＝x－<0，解得0f(x)恒成立，若x1f(x1)解析设g(x)＝，则g′(x)＝＝，由题意知g′(x)>0，所以g(x)单调递增，当x1f(x1).8.(2018·苏州调研)若函数y＝在其定义域上单调递减，则称函数f(x)是“L函数”.已知f(x)＝ax2＋2是“L函数”，则实数a的取值范围是________.答案[0,2]解析由题意得g(x)＝在R上单调递减，所以g′(x)＝≤0在R上恒成立，所以－ax2＋2ax－2≤0对任意x∈R恒成立，所以ax2－2ax＋2≥0对任意x∈R恒成立，所以a＝0或解得0≤a≤2.1ex2ex1ex2ex1212()()eexxfxfx＜1ex2ex2考点三导数与函数的极值、最值方法技巧(1)函数零点问题，常利用数形结合与函数极值求解.(2)含参恒成立或存在性问题，可转化为函数最值问题；若能分离参数，可先分离.特别提醒(1)若y＝f(x)在x0处可导，则f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件.(2)函数f(x)在[a，b]上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点.9.若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为________.答案－1解析函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1].由x＝－2是函数f(x)的极值点，得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2).由ex－1＞0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点.所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.10.已知...
