专题一函数与导数1．函数y＝定义域是()A．[1，＋∞)B.C.D.2．(2013年广东中山二模)函数f(x)＝x2－bx＋a的图象如图Z11，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是()图Z11A.B.C．(1,2)D．(2,3)3．函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是()A．1＋B．1C．e＋1D．e－14．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝()A．－1B．－2C．1D．25．(2014年辽宁)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－5，－3]B.C．[－6，－2]D．[－4，－3]6．(2013年广东)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝______.7．(2014年四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝____________.8．(2014年湖南)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝____________.9．(2014年山东)设函数f(x)＝alnx＋，其中a为常数．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．10．(2014年新课标Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．专题一函数与导数1．D2．B解析：由题意，得f(0)＝a∈(0,1)，f(1)＝1－b＋a＝0，b＝a＋1∈(1,2)，g(x)＝lnx＋2x－b，g＝ln＋2×－b＝－ln4＋－b<0，g＝ln＋2×－b＝－ln2＋1－b<0，g(1)＝ln1＋2×1－b＝2－b>0，则g(x)的零点所在的区间是.3．D解析：f′(x)＝ex－1，当x>0时，f′(x)>0，f(x)为增函数；当x<0时，f′(x)<0，f(x)为减函数．∴x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(0)＝e0－0＝1.又f(－1)＝＋1<，f(1)＝e－1>2.5－1＝，∴最大值为e－1.4．B解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x.令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋2.∴f′(1)＝－2.故选B.5．C解析：不等式ax3－x2＋4x＋3≥0变形为ax3≥x2－4x－3.当x＝0时，0≥－3恒成立，故实数a的取值范围是R；当x∈(0,1]时，a≥恒成立，记f(x)＝，f′(x)＝＝－>0成立，故函数f(x)单调递增，f(x)max＝f(1)＝－6，故a≥－6；当x∈[－2,0)时，a≤恒成立，记f(x)＝，f′(x)＝＝－，当x∈[－2，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,0)时，f′(x)>0.故f(x)min＝f(－1)＝－2，故a≤－2.综上所述，实数a的取值范围是[－6，－2]．6．－1解析：y′＝x＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1.7．1解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数，∴f＝f＝－4×2＋2＝1.8．－解析：f(x)是偶函数，有f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax.则ln＝ln(e3x＋1)＋2ax，ln(e3x＋1)－ln(e3x)＝ln(e3x＋1)＋2ax，得－3x＝2ax，a＝－.9．解：(1)由题意知，若a＝0，则f(x)＝，x∈(0，＋∞)，此时f′(x)＝.可得f′(1)＝.又f(1)＝0，∴曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋＝.当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②当a<－时，Δ<0，g(x)<0，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③当－
0，设x1，x2(x10，∴当x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．综上所述，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－0.当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根．当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根．综上所述，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
