第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式A组基础题组1.(2019湖南益阳、湘潭调研)已知sinα=25,则cos(π+2α)=()A.725B.-725C.1725D.-1725答案D∵sinα=25,∴cos2α=1-2sin2α=1-825=1725,∴cos(π+2α)=-cos2α=-1725,故选D.2.已知sin(π4+θ)=13,则sin2θ=()A.-79B.-19C.19D.79答案A因为sin(π4+θ)=13,所以❑√22(sinθ+cosθ)=13,两边平方得12(1+sin2θ)=19,解得sin2θ=-79.3.已知α,β都是锐角,且sinαcosβ=cosα(1+sinβ),则()A.3α-β=π2B.2α-β=π2C.3α+β=π2D.2α+β=π2答案B因为sinαcosβ=cosα(1+sinβ),所以sin(α-β)=cosα=sin(π2-α),所以α-β=π2-α,即2α-β=π2.4.已知sinα=❑√55,sin(α-β)=-❑√1010,α,β均为锐角,则cos2β=()A.-❑√32B.-1C.0D.1答案C由题意知:cosα=❑√1-15=2❑√55,cos(α-β)=❑√1-110=3❑√1010.所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=❑√22.所以cos2β=2cos2β-1=2×12-1=0.5.(2019陕西榆林模拟)设α∈(0,π2),若cos(α+π6)=45,则sinα=()A.3-4❑√310B.3+4❑√310C.3❑√3+410D.3❑√3-410答案D由题意知α∈(0,π2),cos(α+π6)=45,则sin(α+π6)=35,所以sinα=sin[(α+π6)-π6]=sin(α+π6)cosπ6-cos(α+π6)sinπ6=3❑√3-410,故选D.6.(1+tan17°)·(1+tan28°)的值为.答案2解析原式=1+tan17°+tan28°+tan17°·tan28°=1+tan45°(1-tan17°·tan28°)+tan17°·tan28°=1+1=2.7.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tanα=43,cos(α+β)=-❑√55.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.解析(1)因为tanα=43,tanα=sinαcosα,所以sinα=43cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=925,所以cos2α=2cos2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-❑√55,所以sin(α+β)=❑√1-cos2(α+β)=2❑√55,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=43,所以tan2α=2tanα1-tan2α=-247.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=-211.8.已知cos(π6+α)cos(π3-α)=-14,α∈(π3,π2).(1)求sin2α的值;(2)求tanα-1tanα的值.解析(1)cos(π6+α)cos(π3-α)=cos(π6+α)·sin(π6+α)=12sin(2α+π3)=-14,即sin(2α+π3)=-12.∵α∈(π3,π2),∴2α+π3∈(π,4π3),∴cos(2α+π3)=-❑√32,∴sin2α=sin[(2α+π3)-π3]=sin(2α+π3)cosπ3-cos(2α+π3)sinπ3=(-12)×12-(-❑√32)×❑√32=12.(2)∵α∈(π3,π2),∴2α∈(2π3,π),由(1)知sin2α=12,∴cos2α=-❑√32.∴tanα-1tanα=sinαcosα-cosαsinα=sin2α-cos2αsinαcosα=-2cos2αsin2α=-2×-❑√3212=2❑√3.B组提升题组1.(2019山东淄博一模)若α为第一象限角,且sin2α=sin(α-π2)cos(π+α),则❑√2cos(2α-π4)的值为.答案75解析由sin2α=sin(α-π2)cos(π+α),得2sinαcosα=cos2α.∵α为第一象限角,∴tanα=12,∴❑√2cos(2α-π4)=❑√2(cos2αcosπ4+sin2αsinπ4)=cos2α+sin2α=cos2α-sin2α+2sinαcosα=1-tan2α1+tan2α+2tanα1+tan2α=1-tan2α+2tanα1+tan2α=1-14+2×121+14=75.2.已知sin10°+mcos10°=2cos140°,则m=.答案-❑√3解析由sin10°+mcos10°=2cos140°可得,m=2cos140°-sin10°cos10°=-2cos40°-sin10°cos10°=-2cos(30°+10°)-sin10°cos10°=-❑√3cos10°cos10°=-❑√3.3.已知函数f(x)=Asin(x+π3),x∈R,且f(5π12)=3❑√22.(1)求A的值;(2)若f(θ)-f(-θ)=❑√3,θ∈(0,π2),求f(π6-θ).解析(1)由f(5π12)=3❑√22,得Asin(5π12+π3)=3❑√22⇒Asin3π4=3❑√22⇒❑√22A=3❑√22⇒A=3.(2)由f(θ)-f(-θ)=❑√3,得3sin(θ+π3)-3sin(-θ+π3)=❑√3,即3sin(θ+π3)+3sin(θ-π3)=❑√3,化简整理得6sinθcosπ3=❑√3,∴3sinθ=❑√3,∴sinθ=❑√33.∵θ∈(0,π2),∴cosθ=❑√63,∴f(π6-θ)=3sin(π6-θ+π3)=3sin(π2-θ)=3cosθ=❑√6.4.如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于点A,B,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM=❑√55,点B的纵坐标是❑√210.(1)求cos(α-β)的值;(2)求2α-β的值.解析(1)由S△OAM=❑√55和α为锐角,知sinα=2❑√55,cosα=❑√55.又点B的纵坐标是❑√210,∴sinβ=❑√210,cosβ=-7❑√210.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=❑√55×(-7❑√210)+2❑√55×❑√210=-❑√1010.(2)∵cos2α=2cos2α-1=2×(❑√55)2-1=-35,sin2α=2sinαcosα=2×2❑√55×❑√55=45,∴2α∈(π2,π).∵β∈(π2,π),∴2α-β∈(-π2,π2).∵sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ=-❑√22,∴2α-β=-π4.
