初三数学等腰三角形中的一个重要命题江苏张玉娟1.命题的提出命题：等腰三角形底边上任意一点与两腰的距离和等于一腰上的高。如图，已知中，，P是底边BC上任意一点，，E、F为垂足，BH为AC腰的高。求证：图1图2图3由于中，可能为直角、锐角、钝角，因此可画出三种图形，如上图1，2，3。2.命题的证明下面就锐角三角形情形给出证明。证明：方法1如图4，过点P作四边形PEHK为矩形，而从而推得图4方法2：如图5，用面积法证，连AP图5又即可见用面积法来证更简洁，当为钝角三角形或直角三角形时也可以用类似方法证得结论成立。这个性质不仅在单独的等腰三角形中可以应用，也可以贯穿于其他图形中，下面举例来说明。3.命题的应用例1.在矩形ABCD中，，P是BC上任意一点，且，E、F分别为垂足，则PE+PF的值为（）A.B.C.D.解析：如图6，过点B作，垂足H，由矩形性质可知，所以P为等腰底边上一点，有。即（选A）图6例2.如图7，正方形ABCD，边长为1，P为BC上一点，于点E，于点F。求：的长。图7解析：由正方形性质可知，，因P为等腰底边上一点，根据命题结论，有。可见，只要找出图中隐藏的等腰三角形，就可把问题转化为前面命题所揭示的性质，就可解决问题。4.命题的拓展这性质在等腰三角形中提出，在等边三角形中具有怎样的情况。拓展1若点P为等边三角形一边上一点，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为的高为h，如图8，此时，，根据命题结论有，即。图8若点P为等边三角形内一点，如图9，。也可得结论图9若点P为等边三角形外一点，如图10，，得到结论，。由此可知，在等边三角形中，设O为其中心，O到一边的距离为，显然，就有结论。图10在正方形中呢？若点P为正边形ABCD内任一点，点O为正方形的中心，O到一边的距离为，P点到AB、BC、CD、DA各边的距离为，如图11，有结论。图11若点P为正五边形ABCDE内任一点，点O为正五边形的中心，O到一边的距离为，P到AB、BC、CD、DE、EA各边的距离为，如图12，有结论。图12拓展2若点P是正n边形内任一点，O是正n边形的中心，点O到一边的距离为，点P到各边的距离分别为，有。如此看来，解答数学题时，如能在做出解答后进一步深入研究一下，一定能发现一些很有趣又很有用的新知识或好方法，使解答数学问题的过程变成一个探索发现的过程。将思维变成流动、活跃的过程，是创新思维教学所追求的更为重要的目标，它是灵活应用知识，创造性的由已知信息推断隐含信息和未知信息，适应条件变化所需要的能力。
