浙江省上虞市2007年初三数学竞赛试卷（2007年1月13日8：30——10：30）题次一二三总分13141516得分阅卷人一．填空题：(每小题5分,共30分)１．如果一个正整数等于它的数字和的4倍，那么我们就把这个正整数叫做四合数．所有四合数的总和等于________．２．在△ABC中，AB=，BC=2，△ABC的面积为1．若∠B是锐角，则∠C的度数是________．３．方程(x2-x-1)x+2=1的整数解的个数是_______．４．已知α,β是方程x2-x-1=0的两个根，则α4+3β的值为___________．５．一辆客车，一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶．在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车，则再过__________分钟，货车追上了客车．６．如图，已知△ABC的面积为60，D是边BC的三等分点，E是边AC的四等分点，F、G是边AB上的两个相邻的五等分点，则四边形DEFG的面积为_________．二．选择题(每小题5分，共30分)７．已知A、B为平面上的2个定点，且AB=5．若点A、B到直线l的距离分别等于2、3，则满足条件l的直线共有（）条．A.2B.3C.4D.5８．若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b=（）A.7B.8C.15D.21９．在△ABC中，，则∠A为（）A.一定为锐角B.一定为直角C.一定为钝角D.非上述答案10．点A（－4，0），B（2，0）是xOy平面上两定点，C是y=x+2的图象上的动点，则满足上述条件的直角三角形ABC可以画出（）ABCDEFGABCDEFG(A)1个.(B)2个.(C)3个.(D)4个.11．甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分（a＜；乙上山的速度是a米/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同时从点A出发，时间为t（分），离开点A的路程为S（米）．那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t（分）与离开点A的路程S（米）之间的函数关系的是（）12．如图，AB是⊙O的直径，C为AB上一个动点（C点不与A、B重合），CD⊥AB，AD、CD分别交⊙O于E、F，则与AB•AC相等的一定是(）A．AE•ADB．AE•EDC．CF•CDD．CF•FD三．解答题(每小题15分，共60分)13．今有一个三位数，其各位数字不尽相同，如将此三位数的各位数字重新排列，必可得一个最大数和一个最小数（例如，427，经重新排列得最大数742，最小数247），如果所得最大数与最小数之差就是原来的那个三位数，试求这个三位数.BA第12题图14．某出租车起步价为10元，超过10千米后，每增加1千米加价1.50元（增加不足1千米的按1千米算，增加超过1千米但不足2千米的按2千米算…）．现在从A到B，支出车费28元．如果从A步行600米后乘出租车到B，也需交出28元．如果从A坐车经过B到C，且A到B与B到C等距，需支付多少元车费？15．在△ABC中，AB>AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D，DE⊥AB于E，求证：AE=．16．已知为正整数，且满足，求的值[参考答案]一、填空题1．1202．3003．４４．5_5．15６．29二．选择题ＢＤＡＤＣＡ13．设三位数为，重排后最大数为,则最小数为,于是有,（5分）由于，由上式有，．（10分）可求得ｙ＝９，ｘ＝４，ｚ＝５．即所求三位数为495（15分）14．解:设A与B之间距离为s，那么由题意,得,且11AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D，DE⊥AB于E，求证：AE=．【分析】方法1、2AE=AB-AC←在BE上截取EF=AE，只需证BF=AC，连结DC、DB、DF，从而只需证△DBF≌△DCA←DF=DA，∠DBF=∠DCA，∠DFB=∠DAC←∠DFA=∠DAF=∠DAG．方法2、延长CA至G，使AG=AE，则只需证BE=CG←连结DG、DC、DB，则只需证△DBE≌△DCG←DE=DG，∠DBE=∠DCG，∠DEB=∠DGC=Rt∠．16.由49(a+b)=4(a+ab+b)及a,b都是正整数，(4,49)=1知，4∣(a+b)故存在正整数k,使a+b=4k①从而a+ab+b=49k,（5分）即（a+b）-ab=49k,故ab=16k-49k②从而a,b是关于x的方程x-4kx+(16k-49k)=0③(此也可视作把①代入②,整理成关于a的类似③的方程)的两个正整数根．由⊿=16k-4（16k-49k）≥0，得0≤k≤,（10分）k为正整数∴k=1,2,3,4.容易验证，当k=1,2,3时，方程③均无正整数根；当k=4时，方程③为x-16x+60=0,解得x=10,x=6.故a+b=4k=16.（15分）
